概率论常用公式

　　有些概率公式常常会一段时间内要用到，但是有经常忘记，这里备注一下

1、乘法法则

　　                                         \(p\left ( x,y \right )=p\left ( x|y \right )p\left ( y \right )=p\left ( y|x \right )p\left ( x \right ) \)

　　实际上就是条件概率公式的一个等价形式

2、独立性

　　如果\(x\)和\(y\)是相互独立的，那么有：

　　　　　　　　　　　　　　　　\(p\left ( x, y \right ) = p\left ( x\right )p\left ( y\right )\)

3、贝叶斯规则（Bayes' Rule）

　　贝叶斯规则又成为贝叶斯公式，在许多领域都有着广泛的应用，其公式如下：

　　　　　　　　　　　　　　　　\(p\left ( y|x \right )=\frac{p\left ( x|y \right )p\left ( y \right )}{p\left ( x \right )}\)

　　分母是标准化常数，用于确保左边的后验概率其所有可能的值之和为1。因此，我们通常可写成：

　　　　　　　　　　　　　　　　\(p\left ( y|x \right )=\eta p\left ( x|y \right )p\left ( x \right )\)

　　在给定背景知识\(e\)给定的情况下，贝叶斯变成：

                                              \(p\left ( y|x,e \right )=\frac{p\left ( x|y,e \right )p\left ( y|e \right )}{p\left ( x|e \right )}\)

4、边缘化

　　边缘概率公式如下：

　　　　　　　　　　　　　　　　\(p\left ( x \right )= \int_{y}^{ } p\left ( x,y \right )dy\)　　

　　在离散的情况下，积分变成求和：

　　　　　　　　　　　　　　　　\(p\left ( x \right )= \sum_{y}^{ } p\left ( x,y \right )\)　　

 

5、全概率法则

　　全概率是边缘概率的一种变体，能通过乘法法则推导而来，即：

　　　　　　　　　　　　　　　　\(p\left ( x \right )= \int_{y}^{ } p\left ( x|y \right )p\left ( y \right )dy\)

　　且，对于离散情况则为相应概率之和，即：

　　　　　　　　　　　　　　　　\(p\left ( x \right )= \sum_{y}^{ } p\left ( x|y \right )p\left ( y \right )dy\)

 　  对于连续情况，条件概率的全概率公式：

                                                         \(p\left ( x|y \right )= \int_{z}^{ } p\left ( x|y,z \right )p\left ( z|y \right )dz\)

　　对于离散情况，条件概率的全概率公式：

                                                        \(p\left ( x|y \right )= \sum_{z}^{ } p\left ( x|y,z \right )p\left ( z|y \right )dz\)

6、马尔科夫假设

　　马尔科夫假设是指变量\(x_{t}\)，只与它直接的前一时刻状态\(x_{t-1}\)有关，和\(x_{t^{‘}-1}\)无关，其中\(t^{'}<t-1\)，则有

　　　　　　　　　　　　　　　　\(p\left ( x_{t}|x_{1:t-1} \right )= p\left(x_{t}|x_{t-1} \right)\)

 

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参考资料

　　[1]. Cyrill Stachniss（著）, 陈白帆，刘丽珏（译）.机器人地图创建与环境探索，2013.

 

博客编写公式用mathtype简直折腾遭罪，吃力不讨好。

以前学习的latex终于能用起来，还是latex的公式最接近完美，深切体会到积累所引起的持续性发酵----厚积薄发。