点旋转和坐标系旋转

同一坐标系下的点旋转变换（如图1所示）和不同坐标系之间的旋转变换（如图2所示），一直困扰着我，它们是两个不同的概念，但形式上有很相似，以二维空间为例做了下推导，加深理解。

同一坐标系下的点旋转变换，比较好理解，是在相同的坐标系下做的旋转变换。如图3所示，已知逆时针的旋转角度为θ，我们引入中间变量向量的长度r和水平夹角α，显而易见地，推导公式如下：

$x=r cos(\theta+\alpha)=rcos(\theta)cos(\alpha)-rsin(\theta)sin(\alpha)=x^{'}cos(\theta)-x^{'}sin(\theta)$
$y=r sin(\theta+\alpha)=rsin(\theta)cos(\alpha)+rcos(\theta)sin(\alpha)=x^{'}sin(\theta)+x^{'}cos(\theta)$ 

$\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta) \\ sin(\theta) &cos(\theta) & \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x^{'}\\ y^{'} \end{bmatrix}$

齐次坐标系的表达为：

$\begin{bmatrix} x\\ y\\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta) &0\\ sin(\theta) &cos(\theta) & 0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x^{'}\\ y^{'}\\ 1 \end{bmatrix}$

 

不同坐标系之间的旋转变换，这是透视变换中常用到的，它的作用是将一个点从一个坐标系统映射到另一个坐标系统下，这在将世界坐标系统映射到相机坐标系统中是很有用的。如图4所示，已知坐标系O'X'Y'相对于OXY坐标系逆时针的旋转角度为θ，O'X'Y'的坐标原点O'相对于OXY的坐标为(x0,y0)，我们引入中间变量向量的长度r和水平夹角α。变换的思路是，先对O'X'Y'坐标系旋转θ，然后在平移(x0,y0)。推导过程如下：

$x=rcos(\theta+\alpha)+x_{0}=rcos(\theta)cos(\alpha)-rsin(\theta)sin(\alpha)=x^{'}cos(\theta)-x^{'}sin(\theta)+x_{0}$
$y=r sin(\theta+\alpha)+y_{0}=rsin(\theta)cos(\alpha)+rcos(\theta)sin(\alpha)=x^{'}sin(\theta)+x^{'}cos(\theta)+y_{0}$

$\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta) \\ sin(\theta) &cos(\theta) & \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x^{'}\\ y^{'} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} x^{0}\\ y^{0} \end{bmatrix}$

 齐次坐标系的表达为： 

$\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta) &x^{0}\\ sin(\theta) &cos(\theta) &y^{0}\\ 0&0 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x^{'}\\ y^{'}\\ 1 \end{bmatrix}$

 注意齐次坐标的作用是把旋转缩放和平移结合起来，在传统的欧几里得空间中是做不到的，需要在投影空间中的齐次坐标系统下完成。

同理可以扩展到三维空间。OXYZ坐标系统可以看作是相机坐标系统，O'X'Y'Z'可以看做世界坐标系统，

 

参考资料：

[1].矩阵的坐标变换(转)（里面介绍了矩阵的旋转缩放，还有推导过程，强烈推荐★★★★★）