LOJ #2707. 「BalticOI 2015」拔河

考虑构造一个二分图 $G$ ，左右各 $2n$ 个点，左边表示人，右边表示位置，人对应位置连边。那么图 $G$ 的左侧的 $2n$ 个点的度数均为 $2$ 。对于这样的二分图 $G$ ，有一个很漂亮的结论：

结论二分图 $G$ 的左右两侧点数相等均为 $n$ ，如果满足左侧每个点的度数为 $2$ ，且右侧每个点的度数均不为 $0$ ，则 $G$ 是基环外向树森林。

我们现在假设输入存在一个合法的匹配，即二分图 $G$ 是基环外向树森林。容易发现每一棵基环外向树的贡献是独立的，且一定有 $2$ 种不同的贡献。我们假设 $G$ 由 $m$ 棵基环外向树组成，第 $i$ 棵的两个贡献为 $b_{i,0/1}$ 。那么问题就变成了是否能找到 $\text{01}$ 序列 $c_i$ 满足 $\left|\sum\limits_{i}b_{i,c_{i}}\right|\le k$ 。

设 $S=\sum\limits_ib_{i,0},\,d_i=b_{i,1}-b_{i,0}$ 条件即为 $\left|S+\sum\limits_ic_id_i\right|\le k$ 是一个 $\text{01}$ 背包问题。直接使用 bitset 优化 $01$ 背包的复杂度是 $\mathcal O\left(\frac{nk}{\omega}\right)$ 。

注意到值域 $\sum\limits_{i}d_i$ 最大是 $\mathcal O(k)$ 的，因此可以使用多重背包优化 $01$ 背包的trick：假设 $\sum\limits_id_i\le T$ 则有 $|\{d_i\}|\le \sqrt{T}$ 即 $d_i$ 中最多会有 $\mathcal O\left(\sqrt{T}\right)$ 个不同的数。使用二进制分组+bitset优化多重背包，可以将时间复杂度做到 $\mathcal O\left(\frac{k\sqrt{k}\log k}{\omega}\right)$ ，可以通过。

参考答案


#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
static constexpr int Maxn = 6e4 + 5, MaxN = 1.2e5 + 5;
static constexpr int MaxK = 1.2e6 + 5, K = 1.2e6, LOG = 20;
int n, k, ch[MaxN][2], w[MaxN], en, head[Maxn];
struct Edge { int to, nxt; } e[Maxn * 2];
void add_edge(int u, int v) { e[++en] = (Edge){v, head[u]}, head[u] = en; }
int col[Maxn], stk[Maxn], top, cn, c[Maxn], coln;
bool incyc[Maxn], instk[Maxn], vis[Maxn], ct[Maxn];
void backof(int u) { do c[++cn] = stk[top]; while (stk[top--] != u); }
void dfs(int u, int fa, const int &color) {
  col[u] = color, stk[++top] = u, instk[u] = true;
  for (int i = head[u], to, v; i; i = e[i].nxt) {
    to = e[i].to, v = ch[to][ch[to][0] == u];
    if (to == fa) continue;
    if (col[v] == 0) dfs(v, to, color);
    else if (instk[v]) backof(v);
  } top -= (stk[top] == u), instk[u] = false;
} // dfs
void dfs1(int u, int fa, int &W) {
  W += w[fa] * (u <= n ? 1 : -1);
  for (int i = head[u], to, v; i; i = e[i].nxt) {
    to = e[i].to, v = ch[to][ch[to][0] == u];
    if (to == fa) continue; dfs1(v, to, W);
  }
} // dfs1
int b[Maxn][2], bw[Maxn], tot, tw[Maxn], tn;
int buc_pool[MaxK * 2], *buc = buc_pool + MaxK;
bitset<MaxK * 2> f;
int main(void) {
  scanf("%d%d", &n, &k); cn = 0;
  for (int i = 1; i <= n * 2; ++i)
    scanf("%d%d%d", &ch[i + 2 * n][0], &ch[i + 2 * n][1], &w[i + 2 * n]), 
      add_edge(ch[i + 2 * n][0] += 0, i + 2 * n), 
      add_edge(ch[i + 2 * n][1] += n, i + 2 * n);
  for (int i = 1; i <= n * 2; ++i) if (head[i] == 0) exit(puts("NO") & 0);
  for (int i = 1; i <= n * 2; ++i) col[i] = 0, incyc[i] = false, ct[i] = false;
  for (int i = 1; i <= n * 2; ++i)
    if (e[head[i]].nxt == 0 && col[i] == 0) dfs(i, 0, ++coln), ct[cn] = true;
  for (int i = 1; i <= n * 2; ++i)
    if (col[i] == 0) dfs(i, 0, ++coln), ct[cn] = true;
  for (int i = 1; i <= cn; ++i) incyc[c[i]] = true;
  for (int i = 1; i <= cn; ++i)
    for (int u = c[i], j = head[u], v, to; j; j = e[j].nxt) {
      to = e[j].to, v = ch[to][ch[to][0] == u];
      if (!incyc[v]) dfs1(v, to, bw[col[u]]);
    } for (int i = 1; i <= coln; ++i) b[i][0] = bw[i], b[i][1] = bw[i];
  memset(vis, false, sizeof(vis));
  for (int l = 1, r, co, wc; l <= cn; l = r + 1) {
    for (r = l; !ct[r]; ++r); co = col[c[l]], wc = 0;
    if (r == l + 1) {
      for (int u = c[l], j = head[u], x = 0, to, v; j; j = e[j].nxt) {
        to = e[j].to, v = ch[to][ch[to][0] == u];
        if (incyc[v]) wc += (x == 0 ? w[to] : -w[to]), x ^= 1;
      }
    } else for (int i = l, u, nu; i <= r; ++i) {
      u = c[i], nu = c[(i - l + 1) % (r - l + 1) + l];
      for (int j = head[u], to, v; j; j = e[j].nxt) {
        to = e[j].to, v = ch[to][ch[to][0] == u];
        if (v == nu) wc += w[to] * (u <= n ? 1 : -1);
      }
    } b[co][0] += wc, b[co][1] -= wc;
  } for (int i = 1; i <= coln; ++i) tot += b[i][0];
  for (int i = 1; i <= coln; ++i) bw[i] = b[i][1] - b[i][0];
  for (int i = 1; i <= coln; ++i) buc[bw[i]]++;
  for (int i = -K, j; i <= K; ++i) if (buc[i]) {
    for (j = 0; (1 << j + 1) - 1 <= buc[i]; ++j) tw[++tn] = i * (1 << j);
    tw[++tn] = i * (buc[i] - (1 << j) + 1);
  }
  f.set(tot + K);
  for  (int i = 1; i <= tn; ++i)
    if (tw[i] > 0) f |= f << tw[i];
    else f |= f >> (-tw[i]);
  bool ans = false;
  for (int i = -k; i <= k; ++i) ans |= f[i + K];
  puts(ans ? "YES" : "NO");
  exit(EXIT_SUCCESS);
} // main