动物园
题目描述
近日，园长发现动物园中好吃懒做的动物越来越多了。例如企鹅，只会卖萌向游客要吃的。为了整治动物园的不良风气，让动物们凭自己的真才实学向游客要吃的，园长决定开设算法班，让动物们学习算法。
某天，园长给动物们讲解KMP算法。
园长：“对于一个字符串S，它的长度为L。我们可以在O(L)的时间内，求出一个名为next的数组。有谁预习了next数组的含义吗？”
熊猫：“对于字符串S的前i个字符构成的子串，既是它的后缀又是它的前缀的字符串中（它本身除外），最长的长度记作next[i]。”
园长：“非常好！那你能举个例子吗？”
熊猫：“例S为abcababc，则next[5]=2。因为S的前5个字符为abcab，ab既是它的后缀又是它的前缀，并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理，还可得出next[1] = next[2] = next[3] = 0，next[4] = next[6] = 1，next[7] = 2，next[8] = 3。”
园长表扬了认真预习的熊猫同学。随后，他详细讲解了如何在O(L)的时间内求出next数组。
下课前，园长提出了一个问题：“KMP算法只能求出next数组。我现在希望求出一个更强大num数组一一对于字符串S的前i个字符构成的子串，既是它的后缀同时又是它的前缀，并且该后缀与该前缀不重叠，将这种字符串的数量记作num[i]。例如S为aaaaa，则num[4] = 2。这是因为S的前4个字符为aaaa，其中a和aa都满足性质‘既是后缀又是前缀’，同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。而aaa虽然满足性质‘既是后缀又是前缀’，但遗憾的是这个后缀与这个前缀重叠了，所以不能计算在内。同理，num[1] = 0,num[2] = num[3] = 1,num[5] = 2。”
最后，园长给出了奖励条件，第一个做对的同学奖励巧克力一盒。听了这句话，睡了一节课的企鹅立刻就醒过来了！但企鹅并不会做这道题，于是向参观动物园的你寻求帮助。你能否帮助企鹅写一个程序求出num数组呢？特别地，为了避免大量的输出，你不需要输出num[i]分别是多少，你只需要输出.jpg){kind=small}
对1,000,000,007取模的结果即可。
.jpg){kind=small}
输入
第1行仅包含一个正整数n ，表示测试数据的组数。随后n行，每行描述一组测试数据。每组测试数据仅含有一个字符串S，S的定义详见题目描述。数据保证S 中仅含小写字母。输入文件中不会包含多余的空行，行末不会存在多余的空格。
输出
包含 n 行，每行描述一组测试数据的答案，答案的顺序应与输入数据的顺序保持一致。对于每组测试数据，仅需要输出一个整数，表示这组测试数据的答案对 1,000,000,007 取模的结果。输出文件中不应包含多余的空行。
样例输入
3
aaaaa
ab
abcababc
样例输出
36 //(0+1)*(1+1)*(1+1)*(2+1)*(2+1)
1 //(0+1)*(0+1)
32
本题大意：求字符串的每一位截至的前缀和后缀的长度，这里要求前缀和后缀不能重叠，并按规则计算出num[]数组值。
sol:先求next数组，对于next[i],以i结尾的子串的前缀和后缀是可以重叠的，本题求的num数组，要求前缀和后缀不能重叠，怎样做到不重叠呢，也就是前缀长度只能<=总长度的一半。求出next数组后，我们发现如果next[i]和i之间连一条边，就构成了一棵树。所求的num[i]就是这条链上0到next[i]的所有点，看哪些值是<=i/2的。由于low_bound()函数是找一个有序序列中大于等于某值的位置的，于是我们用up_bound()来找严格大于的，找到那个位置后，位置号-1，就是num[i]的值了。如S="abaabaa"，构造的fail树如下：
如i=6，next[6]=3,我们从[0,1,3,6]这条链中，找0到next[6]=3中其值<=6/2的，用up_bound()找到，[0,1,3,6]的第4个位置，是严格大于6/2的，num[6]为4-1=3，及前3个数[0,1,3]满足条件。
再如i=7,next[7]=4,0到7的这条链为[0,1,4,7],找到第3个位置的4，已严格大于7/2了，num[7]为3-1=2，及前两个[0,1]满足条件。
代码如下：
1 #include <bits/stdc++.h>
2 #include <cstring>
3 #include <algorithm>
4 #define N 1000010
5 using namespace std;
6 int fail[N] , num[N] , head[N] , to[N] , next[N] , cnt , sta[N] , top;
7 char str[N];
8 void add(int x , int y)
9 {
10 to[++cnt] = y , next[cnt] = head[x] , head[x] = cnt;
11 }
12 void dfs(int x)
13 {
14 int i;
15 sta[++top] = x; //将编号为x的号进栈
16 for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
17 {
18
19 num[to[i]] = upper_bound(sta + 1 , sta + top + 1 , to[i] >> 1) - sta - 1 ;
20 //求出to[i]这个点，所在的栈中，有多少值是小于它的一半的。
21 //upper_bound是找第一个严格大于某个元素的位置，减去1后,也就是找有多少个数是小于等于某个元素的了
22 dfs(to[i]);
23 }
24 sta[top -- ] = x;
25 }
26 int main()
27 {
28 int T;
29 scanf("%d" , &T);
30 while(T -- )
31 {
32 int n , i = 0 , j = -1;
33 long long ans = 1;
34 memset(head , 0 , sizeof(head)) , cnt = 1;
35 scanf("%s" , str) , n = strlen(str);
36 fail[0] = -1;
37 while(i < n)
38 {
39 while(~j && str[j] != str[i]) j = fail[j];
40 fail[++i] = ++j;
41 }
42 // for (int i=1;i<=n;i++)
43 // cout<<i<<" "<<fail[i]<<endl;
44 for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) //连一条边从fail[i]到i
45 add(fail[i] , i);
46 dfs(0);//从0号点开始，将其入栈，这样每个num[i]的值于少为1
47 for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
48 ans = ans * num[i] % 1000000007;
49 printf("%lld\n" , ans);
50 }
51 return 0;
52 }
