Gate Of Babylon
《基尔伽美修》是人类历史上第一部英雄史诗，两河流域最杰出的文学作品之一。作品讲述了基尔伽美修一生的传
奇故事。在动画Fate／staynight中，基尔伽美修与亚瑟王等传说中的英雄人物一起出现在了现实世界，展开了一
场惊天地、泣鬼神的战斗一·在记载于12块泥板的史诗中，基尔伽美修与同伴安吉杜一起降伏了森林的守护者——
神兽洪芭芭，成为地上最强的王者，同时将世间所有财宝收归手中。王之财宝(GateofBabylon)成为Fate中金皮卡
（基尔伽美修的外号…）炫耀的资本……一天金皮卡突发奇想：如果从自己无尽的财宝里面，随便抽不超过M件宝
具出来砸死敌人的话。一共有多少种搭配方法呢一一？假设金皮卡一共有N种不同类型的宝具，大部分类型的宝具
都有无限多，但其中T种超级神器的数量是有限的。设第i种超级神器的数量不超过Bi件。若相同类型的宝具数量相
同，则认为是相同的搭配方案。金皮卡知道方案数会很大，从小数学成绩就好的他挑选了一个质数P，请你帮他计
算一下方案数模P后的余数。注意，一件也不选也是一种方案。
Input
第一行包含4个整数，分别为N，T，M，P
之后T行，每行一个鏊数，代表Bi
N，M≤10^9，P≤10^5，Bi≤10^9
0≤T≤N，M>O，Bi>0，T≤15
Output
仅包含一个整数，即方案数模P后的余数。
Sample Input
2 1 10 13
3
Sample Output
12
【样例说明1】
只有一种超级神器，数量不超过3
当不选择超级神器时，另一种宝具可以挑选0到10件，共11种方案
当选择1件神器出来时，另一种宝具可以挑选0到9件，共10种方案
当挑选2件神器时，共9种方案
挑选3件神器时，共8种方案
一共有11+10+9+8=38种方案，38mod13=12，于是答案等于12
Main idea
有若干个没有限制的道具，以及T个有限制个数的道具，取出m个，求方案数。
Solution
首先，看到有限制的不超过15个，因此可以考虑使用容斥原理：Ans=全部没有限制的方案-有1个超过限制的方案数+有2个超过限制的方案数-有3个超过限制的方案数+有4个超过限制的方案数…。
以此类推。我们先考虑没有限制的，在m组无限制的数中选n个的方案数，显然就是C(n+m-1,n)。
因为这道题是要求不超过m的方案数，也就是那么运用加法原理，发现答案也就是C(n+0-1,0)+C(n+1-1,1)+C(n+2-1,2)+...+C(n+m-1,m)=C(n+m,m)。
然后考虑有限制的情况，有一个超过限制直接用总数减去（这个的限制+1)就是当前的总数，相当于强制要选限制+1个为空。
然后只要DFS，记录到当前为止选了几个，答案要记是b[i]+1,判断加减，最后累加答案。
最后，n、m过大，发现p是一个质数，所以可以用Lucas定理：Lucas(n,m,p)=Lucas(n/p,m/p,p)*C(n%p,m%p)，其中C(n%p,m%p)求的时候要用到乘法逆元。
1 #include<iostream> 2 #include<string> 3 #include<algorithm> 4 #include<cstdio> 5 #include<cstring> 6 #include<cstdlib> 7 #include<cmath> 8 using namespace std; 9 10 const int ONE=1000001; 11 12 int n,T,m,MOD; 13 long long Ans; 14 long long Jc[ONE]; 15 int b[ONE]; 16 17 int get() 18 { 19 int res,Q=1; char c; 20 while( (c=getchar())<48 || c>57) 21 if(c=='-')Q=-1; 22 if(Q) res=c-48; 23 while((c=getchar())>=48 && c<=57) 24 res=res*10+c-48; 25 return res*Q; 26 } 27 28 long long Quickpow(int a,int b,int MOD) 29 { 30 long long res=1; 31 while(b) 32 { 33 if(b&1) res=res*a%MOD; 34 a=(long long)a*a%MOD; 35 b/=2; 36 } 37 return res; 38 } 39 40 int C(int m,int n) 41 { 42 if(m<n) return 0; 43 int up=Jc[m]%MOD; 44 int down=(long long)Jc[m-n]*Jc[n]%MOD; 45 return (long long)up*Quickpow(down,MOD-2,MOD)%MOD; 46 } 47 48 int Lucas(int n,int m,int MOD) 49 { 50 long long res=1; 51 if(n<m) return 0; 52 while(n && m) 53 { 54 res=res*C(n%MOD,m%MOD)%MOD; 55 n/=MOD; m/=MOD; 56 } 57 return res; 58 } 59 60 void Dfs(int len,int PD,int val) 61 { 62 if(len==T+1) 63 { 64 Ans+=PD*Lucas(n+m-val,m-val,MOD); 65 Ans+=MOD; 66 Ans%=MOD; 67 return; 68 } 69 Dfs(len+1,PD,val); 70 Dfs(len+1,-PD,val+b[len]+1); 71 } 72 73 int main() 74 { 75 n=get(); //n种物品 76 T=get(); //t种特殊的 77 m=get(); //取出m个 78 MOD=get(); //对答案取mod 79 Jc[0]=1; 80 for(int i=1;i<=MOD;i++) 81 Jc[i]=(long long)Jc[i-1]*i%MOD; 82 for(int i=1;i<=T;i++) 83 b[i]=get(); 84 Dfs(1,1,0); 85 printf("%d",Ans); 86 } 87 88 /* 89 input 90 3 2 10 10007 91 3 92 4 93 output 94 150 95 手动算一下 96 C(n+m,m) 97 没有任何限制的时候，其实就是方程 98 x+y+z<=10(注意是<=10) 99 n=3,m=10 100 C(13,3)=286 101 第一种不满足条件,即x>=4 102 则方程变为x+y+z<=6 103 其方案数为C(3+6,3)=84 104 第二种不满足条件,即y>=5 105 则方程变为x+y+z<=5 106 其方案数为C(3+5,3)=56 107 这两种要减去之 108 再加上多减的则方程 109 x+y+z<=10-4-5=1的解 110 共C(3+1,3)=4 111 于是结果为286-84-56+4=150 112 113 对于样例的话 114 input 115 2 1 10 10007 116 3 117 Sample Output 118 38 119 没有任何限制就是 120 C(10+2,2)=66 121 去掉不满足条件的 122 C(10-4+2,2)=28 123 即ans=66-28=38 124 */ 125
