一个线代的问题

【 在 kaoyan (A u ready?) 的大作中提到: 】
: 是99年试题
: A是一个二阶方阵，试证：如果有矩阵B使得AB-BA=A,则A^2=0
发信人: researchmonk (蛰伏中...), 信区: Kaoyan
标  题: Re: [CS]一个线代的问题
发信站: 北大未名站 (2003年01月05日09:47:01 星期天), 站内信件

证：
左乘A A^2*B-A*B*A = A^2
右乘A A*B*A-B*A^2 = A^2
相加：A^2*B - B*A^2 = A^2

所以：tr(A) = tr(AB-BA) = 0
      tr(A^2) = tr(A^2*B-B*A^2) = 0

A^2的特征值是A的特征值的平方
特征值的和等于迹 
因此，A的特征值为0   (西格马的每一项都是平方的形式)

所以存在X可逆 A = X^(-1) * J * X    J为A的若当标准型，J的对角线元素为0
所以 A^2 = X^(-1) * J^2 * X

如果A是n阶，那么，J^n = 0
可以推出 A^n = X^(-1) * J^n * X = X^(-1) * 0 * X = 0

特别的, n = 2 ,有， A^2 = 0