树的染色
Description
有一个N个结点的有根树,R是这个树的根。
现在要对这N个结点依次进行染色,每个结点染色要花费1个单位的时候,
同时要满足一个结点仅在其父亲被染色后才可被染色,每个结点有个权值Ci,
如果我们在第Ti时间对i号结点染色,则付出总代价为Sigma(Ti*Ci),1<=i<=N.
现在给出这个树和每个点的权值,请构造一种染色顺序,使得总代价最小.
Format
Input
第一行正整数N.R
第二个给出N个数字,代表每个点的权值ci
接下来N-1描述这个树
Output
最小的总代价
Samples
输入数据 1
4 1
1 3 2 6
1 2
1 3
2 4
输出数据 1
33
Hint
先染1号点,代价为1 * 1 =1
再染2号点,代价为2 * 3 = 6
再染4号点,代价为3 * 6 =18
再染3号点,代价为4 * 2 =8
总代价为33
首先明确以下几点:
0:因为先要染根,再来染其它点。所以我们先假设根被染过了。代价量是多少先不管。
1:当需要对某个点进行染色的时候,必然是其父亲点被染过了,才来染它的2:如果某个点有父亲点,有兄弟点,则有可能是染完父亲点,再染兄弟点,再来染它
为了记录下染的“序号”,即它是第几个被染的,我们可以将兄弟点被染过后,将兄弟点所在块的个数加到父亲点上。
这样就好了。
3:如果是先染树中间的某一个点,则将这个点并到它父亲点上去,并且将它的子结点全变成它父亲的子结点。
于是:
经过上述操作,根下面的各个子树,会变成一砣砣的“合并点”
接下来,我们必须找出一种染的策略,则先染谁,再染谁。
不妨设1为根,其左子树总权值为Vy,总点数为Sy,其右子树总权值为Vx,总点数为Sx,
如果先左再右,则总代价为
1*vy+(Sy+1)*Vx
如果先右再左,则总代价为
1*Vx+(Sx+1)*Vy
如果前者更优
则
Vy+(Sy+1)*Vx<Vx+(Sx+1)*Vy
SyVx<SxVy
Vx/Sx<Vy/Sy
即哪个块的总权值/总点数更大,谁就应该被先染.
拿数据
4 1
1 3 2 6
1 2
1 3
2 4
来说
先令每个点权值为其自身权值,块大小为1
先染4,代价为6*1,其中6为其自身权值,1为其父亲点2的块的大小。
染完后,将4的权值及块大小,并到2中去。
再染2,代价为9*1,其中9为其自身权值,1为其父亲点1的块的大小。
染完后,将2的权值及块大小,并到1中去。
再染3,代价为2*3,其中2为其自身权值,3为其父亲点1的块的大小。
染完后,将3的权值及块大小,并到1中去。
最后一次,代价为所有点权值之和*1,1相当于1的父亲点0的大小。
最终结果为(下式中的乘法,都是权值在前,次数在后)
6*1+(6+3)*1+2*3+(1+2+3+6)*1
=1*1+3*2+6*3+2*4
即按1,2,4,3这样的顺序染下来。
最后我们要将最开始少加的量加上去,即在染根的时候,其代价值应该是所有点之和。
因为在后面的计算中,我们都会对每个点染的时间点提前1个时间点。
即本来是第二个被染色的,但是我们算成了第1个被染色的了。
于是这个量都要在最后加进来。。
当然我们也可以理解成最后所有点并在根那去了
然后根的上面还有一个父亲点0号点,0号点的大小为1.。。
#include<bits/stdc++.h> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; int n,r,x,y,fa[1010],v[1010]; double t[1010]; int main() { scanf("%d%d",&n,&r); int ans=0,sum; double mx; for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%d",&v[i]); ans+=v[i]; //假设每个点都被首先染色过 t[i]=1; } for(int i=1;i<n;i++) { scanf("%d%d",&x,&y); fa[y]=x; } for(int i=1;i<=n;i++) { mx=sum=0; for(int j=1;j<=n;j++) if(v[j]/t[j]>mx&&j!=r) mx=v[j]/t[j],sum=j; ans+=v[sum]*t[fa[sum]]; //取出这个点的权值,及它父亲点的t值,注意是父亲点的.. //也就是说当它父亲点染过后,它才被染,所以父亲点所在连通块有多少个点,它被染的序号就是乘上多少 v[fa[sum]]+=v[sum]; t[fa[sum]]+=t[sum]; v[sum]=0; for(int j=1;j<=n;j++) //将所有点,如果其父亲从前是sum,现在的父亲点改为fa[sum] if(fa[j]==sum) fa[j]=fa[sum]; } printf("%d\n",ans); return 0; }
数据加强版在这
[HNOI/AHOI2018]排列
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int N=1000010; int n,a[N],w[N],head[N],nxt[N],to[N],num=0,in[N],fa[N]; inline void link(int x,int y){nxt[++num]=head[x];to[num]=y;head[x]=num;} inline bool topsort(){ queue<int>Q; Q.push(0); while(!Q.empty()){ int x=Q.front();Q.pop(); for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){ int u=to[i]; if(!(--in[u]))Q.push(u); } } for(int i=1;i<=n;i++)if(in[i]>0)return false; return true; } struct data{ ll w;int s,x; bool operator <(const data &p)const{ if(w*p.s!=p.w*s)return w*p.s<p.w*s; return x<p.x; } }p[N]; set<data>Q; int cnt=0,b[N]; inline int find(int x){return b[x]==x?x:b[x]=find(b[x]);} int main(){ scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),link(a[i],i),in[i]++,fa[i]=a[i]; for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&w[i]); if(!topsort()){puts("-1");return 0;} for(int i=1;i<=n;i++){ p[i]=(data){w[i],1,i}; Q.insert(p[i]);b[i]=i; } cnt=n;p[0].s=1; ll ans=0; data t; while(!Q.empty()){ t=*Q.begin();Q.erase(t); int y=find(fa[t.x]); ans+=t.w*p[y].s; if(y){ Q.erase(p[y]); data e=t; e.w+=p[y].w;e.s+=p[y].s;e.x=++cnt; b[cnt]=cnt;b[y]=cnt;b[find(t.x)]=cnt; fa[cnt]=fa[y];fa[t.x]=cnt; p[cnt]=e; Q.insert(e); } else b[find(t.x)]=0,p[0].s+=t.s; } cout<<ans<<endl; return 0; }