从恒定状态出发，求解未知状态
从恒定状态出发，求解未知状态
湖南省衡阳市第八中学 邹毅
许多问题都是拥有一个恒定的状态，从这个状态进行演化、转移，产生性质相同，规模更小的子问题。于是我们以此入手，分析出那个恒定的状态与权值，再看如何进行转移产生另一个子问题的解.
例如下面这个题:
中位数问题
给出一个长度为N的非负整数序列A_i，对于所有1 < = k < = (N + 1) / 2， 输出前1,3,5,…个数的中位数。
Input
第1行为一个正整数N，表示了序列长度。 N<=10^5
第2行包含N个整数A_i (-10^9 < = A_i < = 10^9)
Output
如题所示。
输入数据 1
7
5 7 8 2 3 1 9
输出数据 1
5
7
5
5
题解：
就本题的本质来说，就是求一些数字的中位数。如果只是求一次中位数的话，很简单，快速一下即可，时间复杂度为O(N*Log2N)，当然如果你对快排理解得够深刻，可以写到O(N).
但本题是多次求中位数，而且是前1，3，5，7，9……个数字的中位数，这明显是一个公差为2的等差数列。经过分析可得到
1：对于一个升序的数列，如果每次给它插入或减少2个数字，中位数所位的位置只会发生一个位置的偏移，或者不变。以减少为例来说，如果减少的2个数字，一个在中位数位置的左边，一个在右边，则中位数位置不变；如果2个均在中位数位置的左边，则中位数右移一位，反之则左移一位。
2：由于本题是事先就给出所有的数字，属于离线询问，所以对于原数列，经过一次快排，我们可根据中位数的定义知道其位置，进而知道其权值。
3：根据上一条所推出来的恒定的量，我们分析下接下来要解决的问题：求前5个数字的中位数。很明显，我们只需要从排序的数列中去掉最后2个数字即可，产生的后果如第1条所分析。当然此时我们应能做到快速找到去掉的这2个数字在升序数列中的位置，根据其位置与中位数位置的关系进行相应的处理。
4：得到相应结果，我们必须从升序数列中去掉刚才那2个数字，不难发现此题需要不断的删除元素，于是采用链表结构进行处理。
5：不断执行上叙步骤，得到所有的解，然后进行输出即可
代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+7;
int ans[N],pos[N],tot;
struct node
{
int x,id;
}a[N];
struct list
{
int l,r,v;
}l[N];
void insert(int p,int v)
{
tot++,l[tot].v=v;
l[tot].l=p,l[tot].r=l[p].r;
l[l[p].r].l=tot,l[p].r=tot;
}
void erase(int p)
{
l[l[p].l].r=l[p].r;
l[l[p].r].l=l[p].l;
}
bool cmp(node x,node y)
{
if(x.x==y.x)
return x.id<y.id;
return x.x<y.x;
}
int main()
{
int n,now,flag=0;
scanf("%d",&n);now=n/2+1;
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i].x),a[i].id=i;
ans[1]=a[1].x;
sort(a+1,a+n+1,cmp);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
insert(tot,a[i].x);
pos[a[i].id]=tot;
}
for(int i=n;i>=1;i--)
{
if(i%2==1)
{
if(flag>0)
now=l[now].r;
if(flag<0)
now=l[now].l;
flag=0;
ans[i]=l[now].v;
}
if(pos[i]<now)
flag++;
if(pos[i]>now)
flag--;
erase(pos[i]);
}
for(int i=1;i<=n;i+=2)
printf("%d\n",ans[i]);
return 0;
}
例题2：Ksum
给你一个长度为n的一个正整数数组，于是这个数列有n(n+1)/2个子段 现在求出了这n(n+1)/2个子段之和，并降序排序，请问前K个数是多少。
Input
第一行包含两个整数 n 和 k。 接下来一行包含 n 个正整数，代表数组。 ai≤10^9 k≤n(n+1)/2, n≤100000,k≤100000
Output
输出 k 个数，代表降序之后的前 k 个数，用空格隔开
输入数据 1
3 4
1 3 4
输出数据 1
8 7 4 4
通过分析不难得出
1：整个数列的最大值明显为所有数字之和，即数字区间【1..N】
2：现在希望得到权值第2大的区间和，明显应该将区间【1..N】的左端点1右移1位，或右端点N左移1位，产生于两个子区间【1..N-1】和【2..N】。但它们两个的权值，哪一个更大一些呢？没事，丢到堆中即可。
3：接着对衍生出来的两个子区间【1..N-1】和【2..N】继续衍生，会发现区间【2..N-1】会被衍生出来2次。我们可以强行去掉其中的一个，保留另一个。于是规定对于某个区间
【L，R】只有当R=N时，才允许其左边界向右移动。最终可得到以下衍生图：
代码如下：
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
struct node {
int l,r;
long long s;
} t,z;
int n,k,a[100010];
long long s;
priority_queue<node> q;
bool operator <(node a,node b) {
return a.s<b.s;
}
int main() {
scanf("%d%d",&n,&k);
for(int i=1; i<=n; i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
s+=a[i];
}
t.s=s;
t.l=1;
t.r=n;
q.push(t);
for(int i=1; i<=k; i++)
{
t=q.top();
q.pop();
printf("%lld ",t.s);
z.l=t.l;
z.r=t.r-1;
z.s=t.s-a[t.r];
q.push(z);
if(t.r==n) {
z.l=t.l+1;
z.r=t.r;
z.s=t.s-a[t.l];
q.push(z);
}
}
return 0;
}
邻值查找
给定一个长度为 n 的序列 A，A 中的数各不相同。对于 A 中的每一个数 Ai，求：
min|Ai−Aj|，其中1≤j<i
以及令上式取到最小值的 j（记为 Pi）。若最小值点不唯一，则选择使 Aj 较小的那个。
输入格式
第一行输入整数n，代表序列长度。
第二行输入n个整数A1…An,代表序列的具体数值，数值之间用空格隔开。
输出格式
输出共n-1行，每行输出两个整数，数值之间用空格隔开。
分别表示当i取2~n时，对应的min|Ai−Aj|和Pi的值。
数据范围
n≤10^5，|Ai|≤10^9
输入样例：
3
1 5 3
输出样例：
4 1 //对于5来说，在它左边并与其差的绝对值最小的是1，差值为4
2 1 //对于3来说，在它左边并与其差的绝对值最小的是5，差值为2
题解：
对于本题最简单的做法就是暴力枚举每个数字i,再枚举它左边的数字即1到i-1.
再按照题意进行模拟即可，但时间复杂度很明显为O(N^2),对于这种做法，它保证的位置关系这个约束条件。
如果我们换个角度来进行考虑，先来考虑下差值最小这个约束条件。
很明显，对于一个数列，将其进行排序后，则对数列中的数字，与之差值最小的数字一定是它的前驱与后继。
当然数列中第一个数字只有后继，没有前驱。数列中最后一个数字只有前驱，没有后继。
所以我们可以将数列升序排列出来。
例如：对于输入的数列3 2 9 5 4
排序后得到2 3 4 5 9
按下来我们来确保下位置这个约束条件，于是找到输入数列中的最后一个数字4
它出现在数列2 3 4 5 9中的第3个位置。此时它左边的3，右边的5均是在原数列中位置编号小于它的，符合题意要求。
于是差值也就求出来了。接下来，我们从数列2 3 4 5 9中删去4，得到2 3 5 9。再来处理原数列中输入的倒数第二个数字5.............
代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+2;
int n,i,lx,rx,l[N],r[N],p[N];
struct str
{
int x,i;
}
a[N],ans[N];
bool cmp(str x,str y)
{
return x.x<y.x;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i].x),a[i].i=i;
a[0].x=-3e9;
a[n+1].x=3e9;
sort(a+1,a+n+1,cmp);
for(i=1;i<=n;i++)
l[i]=i-1,r[i]=i+1,p[a[i].i]=i;
for(i=n;i;i--)
{
lx=abs(a[l[p[i]]].x-a[p[i]].x);
rx=abs(a[r[p[i]]].x-a[p[i]].x);
if(lx<=rx)
ans[i]=(str){lx,a[l[p[i]]].i};
else
ans[i]=(str){rx,a[r[p[i]]].i};
l[r[p[i]]]=l[p[i]];
r[l[p[i]]]=r[p[i]];
}
for(i=2;i<=n;i++)
printf("%d %d\n",ans[i].x,ans[i].i);
return 0;
}
上述诸题均还有其它方法进行求解，在此不再赘述，但本文所担的思维方式，在计算机许多算法中都有体现，例如dijkstra求最短路，背包算法等等。
算法的其实就是在不断的从一个开始状态出发，进行状态的转移，只是这个转移过程，我们可以通过许多方法与手段让它更快一些罢了。。
