多维偏序
给定一个有n个元素的序列，元素编号为1~n，每个元素有三个属性a,b,c，求序列中满足i<j且ai<aj且bi<bj且ci<cj的数对(i,j)的个数。
对于1<=n<=50000，保证所有的ai、bi、ci分别组成三个1~n的排列。
https://www.cnblogs.com/candy99/p/6442434.html
当我们对第x个关键字进行归并排序时，当然前提是第x-1个关键字已排好了。
此时对于[L,R]的左区间[L,Mid]中某两个元素a,b,经过第x关键字排序后，其第x-1关键字可能打乱了。但没有关系，我们算的是
这两个元素对右区间[Mid,R]中某个元素的影响。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5e4+5;
inline int read(){
char c=getchar();int x=0,f=1;
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
return x*f;
}
int n;
struct Operation{
int a,b,c,d;
bool flag;
}a[N],t1[N],t2[N];
int c[N];
inline int lowbit(int x){return x&-x;}
inline void add(int p,int v){for(;p<=n;p+=lowbit(p)) c[p]+=v;}
inline int sum(int p){
int re=0;
for(;p;p-=lowbit(p)) re+=c[p];
return re;
}
int ans;
void CDQ2(int l,int r)
{
if(l==r) return;
int mid=(l+r)>>1;
CDQ2(l,mid);
CDQ2(mid+1,r);
int i=l,j=mid+1,p=l;
Operation *a=t1,*t=t2;
while(i<=mid||j<=r)
{
if(j>r||(i<=mid&&a[i].c<a[j].c))
{
if(a[i].flag)
add(a[i].d,1);
t[p++]=a[i++];
}else
{
if(!a[j].flag)
ans+=sum(a[j].d);
t[p++]=a[j++];
}
}
for(int i=l;i<=mid;i++)
if(a[i].flag) add(a[i].d,-1);
for(int i=l;i<=r;i++)
a[i]=t[i];
}
void CDQ(int l,int r)
{
if(l==r) return;
int mid=(l+r)>>1;
CDQ(l,mid);
CDQ(mid+1,r);
int i=l,j=mid+1,p=l;
Operation *t=t1;
while(i<=mid||j<=r)
{
if(j>r||(i<=mid&&a[i].b<a[j].b))
(t[p++]=a[i++]).flag=1; // 来自左边数列
else
(t[p++]=a[j++]).flag=0; //来自右边数列
}
for(int i=l;i<=r;i++)
a[i]=t[i];
CDQ2(l,r);
}
int main(){
freopen("partial_order.in","r",stdin);
freopen("partial_order.out","w",stdout);
n=read();
for(int i=1;i<=n;i++) a[i].b=read();
for(int i=1;i<=n;i++) a[i].c=read();
for(int i=1;i<=n;i++) a[i].d=read(),a[i].a=i;
CDQ(1,n);
printf("%d",ans);
}
Sol2:
https://blog.csdn.net/LPA20020220/article/details/81038606?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromBaidu-1.control&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromBaidu-1.control
我们当然可以CDQ套树套树， 但是在这里介绍一种CDQ套CDQ的写法。
第一维：我们通过排序解决。（在这里就是输入顺序）
第二维：我们CDQ在buf数组里实现对其的排序， 递归处理。 同时处理[lef,rig]区间时， 将[lef,mid]区间打上标记表示其第一维较小。
第三维：我们CDQ在buf2数组里实现对其的排序。 当然buf2是基于buf得到的。
第四维：BIT维护前缀和即可。 注意修改、查询的条件是第一维第二维都较小。 这时我们就可以利用打的标记来判定了。
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cctype>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define gc getchar()
#define MX 50050
#define File freopen("partial_order.in", "r", stdin), freopen("partial_order.out", "w", stdout)
#define lbt(i) (i & -i)
template <class T>
IN void in(T &x)
{
x = 0; R char c = gc;
W (!isdigit(c)) c = gc;
W (isdigit(c))
x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48, c = gc;
}
struct Node
{
int a, b, c, d;
bool typ;
}eve[MX], buf[MX], buf2[MX];
int dot, tree[MX];
long long ans;
namespace BIT
{
IN void clear(R int now)
{
W (now <= dot)
if(tree[now]) tree[now] = 0, now += lbt(now);
else return;
}
IN void add(R int now)
{W (now <= dot) ++tree[now], now += lbt(now);}
IN int query(R int now)
{
int ret = 0;
W (now) ret += tree[now], now -= lbt(now);
return ret;
}
}
void cdq2(const int &lef, const int &rig)
{
if(lef == rig) return;
int mid = lef + rig >> 1;
cdq2(lef, mid), cdq2(mid + 1, rig);
//先递归保证左右区间c单增， 并且左区间b值小于右区间b值
int lb = lef, rb = mid + 1, cur = lef;
W (lb <= mid && rb <= rig)
{
if(buf[lb].c < buf[rb].c)
{
if(!buf[lb].typ) BIT::add(buf[lb].d);//必须a值更小才能更新
buf2[cur++] = buf[lb++];
}
else
{
if(buf[rb].typ) ans += BIT::query(buf[rb].d);//必须a值更大才能计入结果
buf2[cur++] = buf[rb++];
}
}
W (lb <= mid) buf2[cur++] = buf[lb++];
W (rb <= rig)
{
if(buf[rb].typ) ans += BIT::query(buf[rb].d);
buf2[cur++] = buf[rb++];
}
for (R int i = lef; i <= mid; ++i) if(!buf[i].typ) BIT::clear(buf[i].d);
for (R int i = lef; i <= rig; ++i) buf[i] = buf2[i];
}
void cdq1(const int &lef, const int &rig)//处理b
{
if(lef == rig) return;
int mid = lef + rig >> 1;
cdq1(lef, mid), cdq1(mid + 1, rig);//先递归保证左右区间b单增
int lb = lef, rb = mid + 1, cur = lef;
W (lb <= mid && rb <= rig)
{
if(eve[lb].b < eve[rb].b)
buf[cur++] = eve[lb++], buf[cur - 1].typ = false;
else
buf[cur++] = eve[rb++], buf[cur - 1].typ = true;
}
W (lb <= mid)
buf[cur++] = eve[lb++], buf[cur - 1].typ = false;
W (rb <= rig)
buf[cur++] = eve[rb++], buf[cur - 1].typ = true;
for (R int i = lef; i <= rig; ++i) eve[i] = buf[i];
cdq2(lef, rig);
}
int main(void)
{
File;
in(dot);
for (R int i = 1; i <= dot; ++i)
in(eve[i].b), eve[i].a = i;
for (R int i = 1; i <= dot; ++i)
in(eve[i].c);
for (R int i = 1; i <= dot; ++i)
in(eve[i].d);
cdq1(1, dot);
printf("%lld", ans);
}
参考文件:解决高维偏序.pptx
五维偏序
第一维：排序
第二维：分治后标号处理
第三维：分治后标号处理
第四维：分治
第五维：树状数组
模板代码：
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<cassert>
#include<cstring>
#include<complex>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 50010;
struct Query
{
int d1,d2,d3,d4,d5,part1,part2;
}query[maxn],tmp2[maxn],tmp3[maxn],tmp4[maxn];
int n,bit[maxn]; LL ans;
int lowbit( int x ){ return x&(-x); }
void add( int x , int val )
{
for ( ; x<=n ; x+=lowbit(x) )
bit[x] += val;
}
int sum( int x )
{
int res = 0;
for ( ; x>=1 ; x-=lowbit(x) )
res += bit[x];
return res;
}
void clear( int x )
{
for ( ; x<=n ; x+=lowbit(x) )
{
if ( bit[x] ) bit[x] = 0;
else break;
}
}
void cdq4d( int L , int R )
{
if ( R-L<=1 ) return;
int M = ( L+R )>>1;
cdq4d( L , M );
cdq4d( M , R );
int p = L,q = M,o = L;
while ( p<M&&q<R )
{
if ( tmp3[p].d4<tmp3[q].d4 )
{
if ( tmp3[p].part1==0&&tmp3[p].part2==0 ) add( tmp3[p].d5 , 1 );
tmp4[o++] = tmp3[p++];
}
else
{
if ( tmp3[q].part1==1&&tmp3[q].part2==1 ) ans += sum( tmp3[q].d5 );
tmp4[o++] = tmp3[q++];
}
}
while ( p<M ) tmp4[o++] = tmp3[p++];
while ( q<R )
{
if ( tmp3[q].part1==1&&tmp3[q].part2==1 ) ans += sum( tmp3[q].d5 );
tmp4[o++] = tmp3[q++];
}
for ( int i=L ; i<R ; i++ )
{
clear( tmp4[i].d5 );
tmp3[i] = tmp4[i];
}
}
void cdq3d( int L , int R )
{
if ( R-L<=1 ) return;
int M = ( L+R )>>1;
cdq3d( L , M );
cdq3d( M , R );
int p = L,q = M,o = L;
while ( p<M&&q<R )
{
if ( tmp2[p].d3<tmp2[q].d3 )
tmp2[p].part2 = 0,tmp3[o++] = tmp2[p++];
else
tmp2[q].part2 = 1,tmp3[o++] = tmp2[q++];
}
while ( p<M ) tmp2[p].part2 = 0,tmp3[o++] = tmp2[p++];
while ( q<R ) tmp2[q].part2 = 1,tmp3[o++] = tmp2[q++];
for ( int i=L ; i<R ; i++ ) tmp2[i] = tmp3[i];
cdq4d( L , R );
}
void cdq2d( int L , int R )
{
if ( R-L<=1 ) return;
int M = (L+R)>>1;
cdq2d( L , M );
cdq2d( M , R );
int p = L,q = M,o = L;
while ( p<M&&q<R )
{
if ( query[p].d2<query[q].d2 )
query[p].part1 = 0,tmp2[o++] = query[p++];
else
query[q].part1 = 1,tmp2[o++] = query[q++];
}
while ( p<M )
query[p].part1 = 0,tmp2[o++] = query[p++];
while ( q<R )
query[q].part1 = 1,tmp2[o++] = query[q++];
for ( int i=L ; i<R ; i++ ) query[i] = tmp2[i];
cdq3d( L , R );
}
int main()
{
for ( ; scanf ( "%d" , &n )==1 ; )
{
for ( int i=1 ; i<=n ; i++ )
bit[i] = 0,query[i].d1 = i;
for ( int i=1 ; i<=n ; i++ )
scanf ( "%d" , &query[i].d2 );
for ( int i=1 ; i<=n ; i++ )
scanf ( "%d" , &query[i].d3 );
for ( int i=1 ; i<=n ; i++ )
scanf ( "%d" , &query[i].d4 );
for ( int i=1 ; i<=n ; i++ )
scanf ( "%d" , &query[i].d5 );
ans = 0; cdq2d( 1 , n+1 ); printf ( "%lld\n" , ans );
}
return 0;
}
