康托展开和康托展开的逆运算
八数码问题不用康托展开判断重复8s，用康托展开判断重复30MS。康托展开最大最明显的作用就是在判断状态是否重复方面了，其实属于hash的一个技巧。
一、康托展开
【问题背景】对于一个有n个不同元素的集合{1,2,3,4,...,n}的从小到大排序（从大到小 同理）的全排列 显然它有n！项。如n=4，那么就有4！=4×3×2×1=24项。
与自然数1，2，3，4，-----n！与之一一对应。比如 1～4四个数的全排列按字典序如下：
1234：第1个
1243：第2个
1324：第3个
1342：第4个
1423：第5个
1432：第6个
2134：第7个
2143：第8个
2314: 第9个
2341：第10个
2413：第11个
2431：第12个
3124：第13个
3142：第14个
3214：第15个
3241：第16个
3412：第17个
3421：第18个
4123：第19个
4132：第20个
4213：第21个
4231：第22个
4312：第23个
4321：第24个
【主要问题】
例1：求4132是第几个排列？ 看上面就知道答案就是：20。 那么是怎么算的呢？
解：总共4个数，所以n=4.ans:=0;
第一个数是4，研究比4小的并且还没有出现过的数有3个：1，2，3。那么ans:=ans+ 3*(n-1)!
所以 ans:= ans+ 3* 3*2*1 =18
第二个数是1，研究比1小的并且还没有出现过的数为 0个。那么ans:=ans+ 0 * (n-2)!，那么ans不变。
第三个数是3，研究比3小的并且还没有出现过的数为1个：2。那么ans:=ans+ 1* (n-3)!,那么ans:=18+1* 1=19
第四个数是2，研究比2小的并且还没有出现过的数为0个。那么ans不变。其实最后一个可以不研究了，比它大和比它小的全都出现过了。 最后ans怎么等于19啊？？代表它前面有19个排列嘛，那么4132自己就是第20个罗（ 最后ans:=ans+1）
例2：问45231是第几个排列？
4 5 2 3 1
ans:= 3*4! + 3*3! + 1*2! + 1*1! + 0*0! + 1 =94
#include<cstdio>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n;
ll a[17],d[17];
ll kangtuo()
{
bool bo[17];memset(bo,false,sizeof(bo));
ll sum=0;
for(ll i=1;i<=n-1;i++)
{
ll k=0;
for(ll j=i+1;j<=n;j++) //看第i个数字，它后面有多少数字比它小
if(a[i]>a[j])k++;
sum=sum+k*d[n-i];
// cout<<i<<" "<<k<<endl;
// bo[a[i]]=true;
}
sum++;
return sum;
}
int main(){
scanf("%lld",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);
d[0]=1;for(int i=1;i<=15;i++)d[i]=d[i-1]*i;
printf("%lld\n",kangtuo());
return 0;
}
当数据范围较大时，可以用树状数组进行优化。。洛谷P5367
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e6+10;
const ll p=998244353;
ll n,a[maxn],ans;
ll f[maxn],c[maxn];
void update(int x,int k)
{
for(int i=x;i<=n;i+=i&-i)
c[i]+=k;
}
int deal(int x)
{
int t=0;
for(int i=x;i>0;i-=i&-i)
t+=c[i];
return t;
}
int main()
{
cin>>n;
f[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
f[i]=f[i-1]*i%p;
for(int i=1;i<=n;i++) update(i,1);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a[i];
ans=(ans+(deal(a[i])-1)*f[n-i]%p+p)%p;
//查找比a[i]小的数字有多少个（还没有出现过的数字中）
update(a[i],-1);
}
cout<<ans+1;
return 0;
}
二、康托展开的逆运算
我把之前的div改为/，div是pascal语言的运算符号，/是C++的，意思都一样就是求两个整数除法运算后的商（不理会余数）
例3：1～5从小到大全排列中，找出第96个排列？
解：首先设x1x2x3x4x5, (x1等于？不知道)，用96-1得到95，表示x1x2x3x4x5前面有95个序列。
第一个数x1，假设x1目前有k个比x1小的并且还没有出现过的数，那么
k:= 95 / (n-1)! = 95 / 24=3, 也就是有3个比x1小并且没有出现过的数，那么x1=4.
95变成95-3×24=23
第二个数x2，假设x2目前有k个比x2小的并且还没有出现过的数，那么
k:= 23 / (n-2)! = 23 / 6 = 3, 也就是有3个比x2小并且没有出现过的数，那么x2=5.（有3个数比它小的数是4，但4已经在之前出现过了，所以是5）
23变成 23 – 3 * 6 = 5
第三个数用5去除2! 得到2余1，那第三个数就是还没有出现过的第3小的数3（5变成1）
第四个数用1去除1! 得到1余0，那第四个数就是还没有出现过的第2小的数2
第五个数就是最后还没有出现的那个。
所以这个数是45321
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n;
ll a[17],d[17];
void _kangtuo(ll sum)
{
sum--;
bool bo[17];memset(bo,true,sizeof(bo));
for(ll i=1;i<=n;i++)
{
ll k=sum/d[n-i];
sum-=k*d[n-i];
ll j;
for(j=1;j<=n;j++)
if(bo[j]==true)
{
if(k==0)break;
k--;
}
bo[j]=false;
a[i]=j;
}
for(ll i=1;i<n;i++)printf("%lld ",a[i]);
printf("%lld\n",a[n]);
}
int main(){
scanf("%lld",&n);
d[0]=1;for(int i=1;i<=15;i++)d[i]=d[i-1]*i;
ll k;scanf("%lld",&k);
_kangtuo(k);
return 0;
}
