丢失的牛综合讲解Lost Cow
1~n,乱序排列，告诉每个位置的前面的数字中比它小的数的个数，求每个位置的数字是多少
Sample Input
5 //五头牛
1 //对于第2头牛来说，前面有1头比它小
2
1
0
Sample Output
2
4
5
3
1
Sol:查找第a[i]+1小的数字，可以权值线段树或树状数组.
下面这个是暴力程序，注意我们要选择的那个位置必须是“1”，代表尚未使用过的。。这是整个全篇所有程序的要点。。。O(N^2)
#include<cstdio> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; int a[8010],f[8010],ans[8010]; int main() { int n; scanf("%d",&n); for(int i=2;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); for(int i=n;i>=1;i--) { int sum=0; for(int j=1;j<=n;j++) { if(!f[j])sum++; if(sum==a[i]+1) { ans[i]=j; f[j]=1; break;
//找到第一个满足条件的位置就退出. } } } for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",ans[i]); return 0; }
链表稍微优化了点，但仍是O(N^2)
/*
Sample Input
5 //五头牛
1 //对于第2头牛来说，前面有1头比它小
2
1
0
Sample Output
2
4
5
3
1
以这个样例来说
建立链表
0 1 2 3 4 5
对于读入的1 2 1 0
先处理最右边的0
代表从链表中，从0开始出发，走0+1步，于是走到1
然后删了它得到0 2 3 4 5
再处理1
代表从链表中，从0开始出发，走1+1=2步，于是走到3
................
*/
#include<stdio.h>
int after[10000];
int t[10000],ans[10000];
int ss(int key)
{
int temp=0,pre;
for(int i=0;i<=key;i++)
//从0开始向后走key+1步。
{
pre=temp;
temp=after[temp];
}
//形成这样的pre....temp....
after[pre]=after[temp];
return temp;
}
int main()
{
int n,i;
scanf("%d",&n);
for(i=0;i<=n;i++)
after[i]=i+1;
//建立一个向后的指针
for(i=2;i<=n;i++)
scanf("%d",&t[i]);
for(i=n;i>=2;i--)
ans[i]=ss(t[i]);
ans[1]=after[0];
for(i=1;i<=n;i++)
printf("%d\n",ans[i]);
}
下面是树状数组，二分位置的。N*Log2N*Log2N
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[10000],c[10000],h[10000],n;
int ask(int x)
{
int ans=0;
for(;x;x-=x&-x) ans+=c[x];
return ans;
}
void add(int x,int y)
{
for(;x<=n;x+=x&-x) c[x]+=y;
}
int query(int x)
{
int l=1,r=n,loc=n;
while(l<=r) //二分查找位置
{
int mid=(l+r)/2;
if(ask(mid)==x)
{
if (mid<loc)
loc=mid;
r=mid-1;
}
else
if (ask(mid)<x)
l=mid+1;
else
r=mid-1;
}
// cout<<x<<" "<<loc<<endl;
return loc;
}
int main()
{
cin>>n;
for(int i=2;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
// a[1]=0;
memset(c,0,sizeof(c));
for(int i=1;i<=n;i++) add(i,1);
for(int i=n;i;i--)
{
h[i]=query(a[i]+1);
add(h[i],-1);
}
for(int i=1;i<=n;i++) cout<<h[i]<<endl;
//system("pause");
}
下面是用一种倍增的算法
最简单的题是这个...
P02612. 数组的二分查找4
# Description
给出一个长度为 N的不下降序列， m次询问数字x在序列中的哪个位置，如果有多个解输出位置最靠左边的，无解输出-1
# Format
## Input
第一行给出数字N，M
第二行N个数字
第三行M个数字,其值<=1e9
N<=1e6
M<=1e5
## Output
一行输出M个数字，代表结果
每个数字后面有个空格
# Samples
```input1
11 3
1 3 3 3 5 7 9 11 13 15 15
1 3 6
```
```output1
1 2 -1
```
Sol:
认为从0点开始跳，所跳距离为8,4,2,1这样的长度
因为所跳的距离必能分解成一个2进制数字。
但在跳的时候应该满足所跳的位置上的数字严格小于所要找的数字。
因为在跳的时候，前期可能因为跳得距离比较长，一下子跳过头了。
于是采用逼近的策略，保证所跳的位置上的数字严格小于所要找的数字。
最终检测下所跳的点的右边是不是要找的数字即可。。
这个过程与查找Lca是非常相似的，查找Lca也是一直跳啊跳
最后所停止位置的父亲点即是最终结果。。
例如我们要在
1 3 3 5 7 7 9 9 9 12中找7第一次出现的位置
则最开始找到8这个位置，发现其值为9>7
再找到第4个位置，其值为5,是可以的
然后尝试再右移2位，发现值正好为7，不满足小于的条件，不能移动
再尝试右移1位，发现值正好也为7，不能移动
于是退出后，检查下第5+1这个位置的数字是不是7，如果是则找到结果
否则没有找到.
。
代码如下：
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,m,a[2000005];
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x,ans=0;
scanf("%d",&x);
for(int j=20;j>=0;j--)//2的20次方已经超过10的6次方
if(a[ans+(1<<j)]<x&&ans+(1<<j)<=n)
ans+=(1<<j);
if(a[ans+1]!=x)printf("-1 ");//输出
else printf("%d ",ans+1);
}
return 0;
}
2022.3.15
有了上面这个基础操作，在本题中查找第一个值为a[i]+1的位置就简单多了。。。。
不用二分的话，直接在Bit中找第K小的，并且位置要尽量靠左时，
不能直接去找，而是应该找第 K-1小的，然后位置再后移动1位。
因为在BIT中是先加大区间，再加小区间，例如我们对1100这一段，我们要找到前缀和为2的，其实前2个数字的前缀和就为2了
但在BIT中会先加区间为4的。
假设给定数列如下:1111111100110011
STEP 1：保证找到一个位置，其前缀为a[i]，并且这个位置越靠后越好,也就是说再多1位，总和就超过a[i]了,如果这个位置靠前的话，则后面一位可能是0，再多加1位，也不能超过a[i]。
为什么不能跟从前一样直接找第一个位置，其前缀和为a[i]+1呢？
因为我们加的区间是从大到小，例如0010，前四个数字之和为1，前3个数字之和也为1.
用现在这种倍增的加法，无法保证找到最靠前的位置。
设a[i]=10
此时我们找的ans是最靠后一个位置，其前缀的为10
此时会找到倒数第3个位置。
程序是这样做到的
先试图去加c[16]=12,发现不能加
先试图去加c[8]=8,发现能加，就加上
再试图去加第8个位置后面连续4个数字即c[12]=2,发现能加，就加上
再试图去加第12个位置后面连续2个数字，c[14]=0,发现能加，也加上
再加图去加第14个位置后面连续1个数字，c[15]=1,发现不能加了，
于是第14位就是我们要的，其数字和为10.
整个过程跟求Lca倍增法非常类似
如果是从前二分找位置的话，找的是某个位置其前缀和为11.
这个位置是第一个前缀和为11的，即倒数第2个位置
于是我们此时找到的结果要加1
这个条件ans + (1<<p) <=n
STEP ２：
是保证要加的数字个数<=n,例如n=14时
我们让其先加8个，再加4个，2个，1个。这样是可以加过头的
如果没有这个限制条件，也有可能N=16
我们一开始就加了16，然后再加的位置就是C[24]了，这个位置根本是不存在的。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline void read(int &x) {
int k=0;
char f=1;
char c=getchar();
for(; !isdigit(c);
c=getchar())
if(c=='-')
f=-1;
for(; isdigit(c);
c=getchar())
k=k*10+c-'0';
x=k*f;
}
const int maxn=1e5+34;
int n;
int a[maxn],b[maxn],c[maxn*2],h[maxn];
int lowbit(int x) {
return x&-x;
}
int ask(int x) {
int ans=0;
for(; x; x-=lowbit(x))ans+=c[x];
return ans;
}
void add(int x,int y) {
for(; x<=n; x+=lowbit(x))c[x]+=y;
}
int main() {
scanf("%d",&n);
for(int i=2; i<=n; i++) {
scanf("%d",&a[i]);
}
for(int i=1; i<=n; i++) {
b[i]=1;
add(i,1);
}
int lim=(int)log2(n);
for(int i=n; i>=1; i--) {
int ans=0,sum=0;
for(int p=lim; p>=0; p--) {
if(ans + (1<<p) <=n && sum+c[ans+(1<<p)]<=a[i])
//不能直接查找<=a[i]+1的位置，这样找出来的结果不准确
//因为有些段的数字为0,其sum和为0，于是位置就右移了.
//ans+1<<p代表要加哪一段的数字
//当然写成 sum+c[ans+(1<<p)]<a[i]+1便与上面的程序统一了
{
sum+=c[ans+(1<<p)];
ans+=(1<<p);
}
}
h[i]=ans+1;
add(ans+1,-1);
}
for(int i=1; i<=n; i++)printf("%d\n",h[i]);
}
权值线段树，N*Log2N
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[8010],ans[8010];
int sum[80010];
void insert(int p,int l,int r,int x,int val)
{
if(l==r)
{
sum[p]+=val;
return;
}
int mid=(l+r)/2;
if(x<=mid)
insert(p*2,l,mid,x,val);
else
insert(p*2+1,mid+1,r,x,val);
sum[p]=sum[p*2]+sum[p*2+1];
}
int kth(int p,int l,int r,int x)
{
if(l==r) return l;
int mid=(l+r)/2;
if(sum[p*2]<x)
return kth(p*2+1,mid+1,r,x-sum[p*2]);
else
return kth(p*2,l,mid,x);
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=2;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)
a[i]++;
for(int i=1;i<=n;i++)
insert(1,1,n,i,1);
for(int i=n;i>=1;i--)
{
ans[i]=kth(1,1,n,a[i]);
insert(1,1,n,ans[i],-1);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%d\n",ans[i]);
}
这个程序，更好看一点吧。
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 8e3 + 10;
int tree[maxn*8], p[maxn], res[maxn];
void build(int l, int r, int dex)
{
if(l == r) tree[dex] = 1;
else{
int mid = (l+r)>>1;
build(l, mid, dex*2), build(mid+1, r, dex*2+1);
tree[dex] = tree[dex*2] + tree[dex*2+1];
}
}
int query(int l, int r, int dex, int k)
{
if(l == r) return l;
int mid = (l+r)>>1;
if(k <= tree[dex*2]) return query(l, mid, dex*2, k);
else return query(mid+1, r, dex*2+1, k - tree[dex*2]);
}
void update(int l, int r, int dex, int x)
{
if(l <= x && r >= x)
{
tree[dex]--; //这个区间的数字个数要减少一个
if(l != r)
{
int mid = (l+r)>>1;
update(l, mid, dex*2, x), update(mid+1, r, dex*2+1, x);
}
}
}
int main()
{
int n;
while(scanf("%d", &n) != EOF){
for(int i = 2; i <= n; i++) scanf("%d", &p[i]);
p[0] = 0;
build(1, n, 1);
for(int i = n; i; i--){
res[i] = query(1, n, 1, p[i]+1);
update(1, n, 1, res[i]);
}
for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%d\n", res[i]);
}
}
