洛谷3857 [TJOI2008]彩灯
线性基入门:
给你一个数列N个数字，构造一个线性基出来。对于原数列任意一个数字，都可通过选取线性基中若干数字XOR运算得到。
两个公式:
1:如果A^B^C=0,则A^B=C，如果一个数字C没有加入到线性基中，说明已存在A,B,且A^B=C
2:如果A^B=C,则A^C=B.
构造程序如下:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int N,M,cnt,ans;
long long P[128];
char s[128];
void insert(long long x)
{
for(int i=62;i>=0;i--)
if((x>>i)&1)
{
if(!P[i])
{
P[i]=x;
break;
}
else
x^=P[i];
}
}
int main()
{
scanf("%d",&N);
for(int i=1;i<=N;i++)
{
int aa;
cin>>aa;
insert(aa);
}
for(int i=0;i<=62;i++)
if(P[i])
cout<<P[i]<<endl;
return 0;
}
运行过程:
当加入9(1001)的时候，直接加入
当加入8(1000)的时候，其最高位那个1，所在的位置已有9加入了，
所以8^9=1,加入之0001
当加入7(0111)的时候，直接加入。
当加入6(0110)的时候，直接加入，其最高位那个1，所在的位置已有7加入了，
所以6^7=0001,然后1又已在线性基中了，xor后得到0，不加入。
当加入5(0101)的时候，其最高位那个1，所在的位置已有7加入了
所以5^7=2,加入之0010
当加入4后，4^5^1=0,不加入
当加入3后，3^2^1=0,不加入
当加入2后，不加入
当加入1后，不加入
..................
最终形成的线性基为9,1,7,2.总个数是最小的，且这些数转成4位2进制后
其最高位如果为1的，将是各个数字中是唯一的。
注意构造出来的线性基并不是唯一的。
对于上面这个数列，线性基为(1,2,4,8)也是可以的。
已知一组彩灯是由一排N个独立的灯泡构成的，并且有M个开关控制它们。从数学的角度看，这一排彩灯的任何一个彩灯只有亮与不亮两个状态，所以共有2N个样式。由于技术上的问题，Peter设计的每个开关控制的彩灯没有什么规律，当一个开关被按下的时候，它会把所有它控制的彩灯改变状态（即亮变成不亮，不亮变成亮）。假如告诉你他设计的每个开关所控制的彩灯范围，你能否帮他计算出这些彩灯有多少种样式可以展示给他的女朋友？
注： 开始时所有彩灯都是不亮的状态。
输入输出格式
输入格式：
每组测试数据第一行为两个整数N和M，用空格隔开。紧接着是有M行，每行都是一个长度为N的字符串，表示一个开关控制彩灯的范围（N盏灯），如果第i个字母是大写字母’O’，则表示这个开关控制第i盏灯，如果第i个字母是大写字母’X’，则表示这个开关不控制此灯。
输出格式：
输出这些开关和彩灯可以变换出来的样式数目。
由于这个值可能会很大，请求出它对于整数2008的余数。
输入输出样例
输入样例#1：
2 3
OO
XO
OX
输出样例#1：
4
说明
可见样例中第一个开关控制了所有的彩灯，而后两个开关分别控制了第一个和第二个彩灯，这样我们可以只用后两个开关控制彩灯，可以变换出来所有的22个状态。
本题可以翻译成给出M个N位二进制数 ， 取若干个异或，求有多少种结果。
本质就是求出线性基的个数x，结果即为2^x
线性基就是把原有的集合用一个新的集合替代之，新的集合里面数相互异或可以得出原有集合的数相互异或的答案。
搞出线性基的性质 : a 和 b 的所有xor 结果 等同于 a和 a xor b的所有结果。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int N,M,cnt,ans;
long long P[128];
char s[128];
void insert(long long x)
{
for(int i=62;i>=0;i--)
if((x>>i)&1){
if(!P[i]){P[i]=x;break;}
else x^=P[i];
}
}
int main()
{
scanf("%d%d",&N,&M);
for(int i=1;i<=M;i++){
scanf("%s",s);
long long a=0;
for(int j=0;j<N;j++)
if(s[j]=='O')a^=(1ll<<j);
insert(a);
}
for(int i=0;i<=62;i++)if(P[i])ans++;
printf("%lld",(1ll<<ans)%2008);
return 0;
}
