[Sdoi2011]消防

Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 512 MB
某个国家有n个城市，这n个城市中任意两个都连通且有唯一一条路径，每条连通两个城市的道路的长度为zi(zi<=1000)。
这个国家的人对火焰有超越宇宙的热情，所以这个国家最兴旺的行业是消防业。由于政府对国民的热情忍无可忍（大量的消防经费开销）可是却又无可奈何（总统竞选的国民支持率），所以只能想尽方法提高消防能力。
现在这个国家的经费足以在一条边长度和不超过s的路径（两端都是城市）上建立消防枢纽，为了尽量提高枢纽的利用率，要求其他所有城市到这条路径的距离的最大值最小。
你受命监管这个项目，你当然需要知道应该把枢纽建立在什么位置上。
Input
输入包含n行：
第1行，两个正整数n和s，中间用一个空格隔开。其中n为城市的个数，s为路径长度的上界。设结点编号以此为1，2，……，n。
从第2行到第n行，每行给出3个用空格隔开的正整数，依次表示每一条边的两个端点编号和长度。例如，“2 4 7”表示连接结点2与4的边的长度为7。
Output
输出包含一个非负整数，即所有城市到选择的路径的最大值，当然这个最大值必须是所有方案中最小的。
Sample Input
【样例输入1】
5 2
1 2 5
2 3 2
2 4 4
2 5 3

【样例输入2】
8 6
1 3 2
2 3 2
3 4 6
4 5 3
4 6 4
4 7 2
7 8 3
Sample Output

【样例输出1】
5
【样例输出2】

5
HINT

对于100%的数据，n<=300000，边长小等于1000。

 

/*
证明1：对于直径上的点，离它最远的点一定是直径上的某个点
假设直径为ac
        e
        .
        .
        . 
a.......b.....c(设ab>bc)
        .
		.
		.
		.
		d
对于b点来说，离它最远的应该是a点
如果不是a，而是d,则(c,b,d)应该是直径 

证明2:对于非直径上的点d, 离它最远的点也一定是直径上的某个点
假如离d最远的不是a，而是e.
则db+be>db+ab
于是be>ab,也就是说e离b,比a离b更远，这也开始的证明相违背。

同理db<bc.

以上我们可以理解成对于以b为根一棵树，ab,bc为其最长链与次长链。
 
 
l...........t.......i.........r
l,r为直径的左右端点，i为我们枚举的一个点，t为另一个点（初值为i的父亲点)
[t,i]的距离不超过规定的Len
则直径上没有被选中的，到选中的边的距离，按要求尽可能小，于是取
ans=min(ans,max(d[t],d[r]-d[i]));
d数组代表每个点到l的距离。 
由于树上所有点，离它们最远的点，一定是直径的两个端点之一（其实到两个端点的值都小）
对于非直径上的边分两种来讨论
一种是与直径的交点，不在我们所选的线段内部，
设为x,与直径交点为y.则xy的长度一定小于y到直径端点的距离。
另一种是与直径的交点，在我们所选线段内部，这个我们要暴力找一下就好了。
如果说还更精确的，就是直径的中点是一定会被选中的，然后从它向左，或向右去找一找，但似乎优化意见不大。


*/
 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int fa[310100],vis[301000],last[301000],len=0,d[301000];
struct node
{
    int to,next,w;
}a[601000];
void add(int a1,int a2,int a3)
{
    len++;
    a[len].to=a2;
    a[len].w=a3;
    a[len].next=last[a1];
    last[a1]=len;
}
void dfs(int x)
{
    for(int i=last[x];i;i=a[i].next)
    {
        int to=a[i].to;
        if(vis[to]||fa[x]==to) continue;
        fa[to]=x;
        d[to]=d[x]+a[i].w;
        dfs(to);
    }
}
int main()
{   
    int n,s,x,y,z,ans=2147483647;
    cin>>n>>s;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        add(x,y,z);
        add(y,x,z);
    }
    int l=1,r=1;
    dfs(l);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    if(d[i]>d[l]) 
	    l=i;
    memset(fa,0,sizeof(fa));
    d[l]=0;
	dfs(l);//算出每个点到L的距离,l是直径的左端点 
    for(int i=1;i<=n;i++)
    if(d[i]>d[r]) 
	    r=i;
    int t=r; //找出直径的右端点 
    for(int i=r;i;i=fa[i])//尺取法
    {
        while(fa[t]&&d[i]-d[fa[t]]<=s)
		     t=fa[t];
        ans=min(ans,max(d[t],d[r]-d[i]));
    }
    for(int i=r;i;i=fa[i]) //找出直径上的点 
	    vis[i]=1;
    for(int i=r;i;i=fa[i])
	     d[i]=0,dfs(i);//以直径上每个点为根，找出非直径上的点到它们的距离 
    for(int i=1;i<=n;i++) //在找出这些距离后，求出其最大值 
    if(vis[i]==0)
    ans=max(ans,d[i]);
    cout<<ans;
}

　　

 

　　

下面这个做法更好想一些:

先找出直径，再找出所有非直径上的点到直径上点的距离的最大值，也就是说当我们选择的线段为整个直径时，它就是答案了。

但事实上我们并不能选择整个直径，于是将这个最大值做为L，将直径的长度做为R，二分一个Limit出来。然后从直径的两个端点向内走，使得所选的线段与直径两个端点的距离<=limit,定下点来后，再看选择的线段长度是否<=s,即系统规定的值。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
 
const int BufferSize = 1 << 16;
char buffer[BufferSize], *Head, *Tail;
inline char Getchar() {
    if(Head == Tail) {
        int l = fread(buffer, 1, BufferSize, stdin);
        Tail = (Head = buffer) + l;
    }
    return *Head++;
}
int read() {
    int x = 0, f = 1; char c = getchar();
    while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = getchar(); }
    while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
    return x * f;
}
 
#define maxn 300010
#define maxm 600010
 
int n, m, head[maxn], nxt[maxm], to[maxm], dist[maxm], lim, A, B;
 
void AddEdge(int a, int b, int c) {
    to[++m] = b; dist[m] = c; nxt[m] = head[a]; head[a] = m;
    swap(a, b);
    to[++m] = b; dist[m] = c; nxt[m] = head[a]; head[a] = m;
    return ;
}
 
int Q[maxn], hd, tl, d[maxn], fa[maxn], fad[maxn];
void bfs() {
    while(hd < tl) {
        int u = Q[++hd];
        for(int e = head[u]; e; e = nxt[e]) if(d[to[e]] < 0) {
            d[to[e]] = d[u] + dist[e];
            fa[to[e]] = u; fad[to[e]] = dist[e];
            Q[++tl] = to[e];
        }
    }
    return ;
}
 
int diap[maxn], dis[maxn], cntd;
bool check(int x) 
{
    int l = 1, r = cntd, tmp = x;
    while(x && l < cntd) 
	{
        if(x < dis[l+1] - dis[l]) break;
        x -= dis[l+1] - dis[l]; l++;
    }
    while(tmp && r > 1) {
        if(tmp < dis[r] - dis[r-1]) break;
        tmp -= dis[r] - dis[r-1]; r--;
    }
    return dis[r] - dis[l] <= lim;
}
 
int main() {
    n = read(); lim = read();
    for(int i = 1; i < n; i++) {
        int a = read(), b = read(), c = read();
        AddEdge(a, b, c);
    }
     
    memset(d, -1, sizeof(d));
    hd = tl = 0; Q[++tl] = 1; d[1] = 0;
    bfs();
    for(int i = 1; i <= n; i++)
	    if(d[A] < d[i]) A = i;
    memset(d, -1, sizeof(d));
    hd = tl = 0; Q[++tl] = A; d[A] = 0;
    bfs();
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
	   if(d[B] < d[i]) B = i;
     
    int u = B; 
	diap[++cntd] = u; 
	dis[cntd] = 0;
    while(u != A) 
	{
        diap[++cntd] = fa[u]; 
		dis[cntd] = dis[cntd-1] + fad[u];
        u = fa[u];
    }
    int l = 0, r = d[B];
    memset(d, -1, sizeof(d));
    hd = tl = 0;
    for(int i = 1; i <= cntd; i++) //将直径上的点进队列 
	    Q[++tl] = diap[i], d[diap[i]] = 0;
    bfs();//找其它点到直径的距离 
    for(int i = 1; i <= n; i++) //取出最大值做为下界，直径的值做为上界 
	   l = max(l, d[i]);
    while(l < r) 
	{
        int mid = l + r >> 1;
        if(!check(mid)) l = mid + 1; else r = mid;
    }
     
    printf("%d\n", l);
     
    return 0;
}