背包问题
背包问题
整理自 杭州电子科大刘春英老师PPT及《背包九讲》崔天翼
问题模型
给你一个容量为V的背包和若干种物品，在一定的限制条件下（每种物品都占用一定容量），问最多能放进多少价值的物品？
和动态规划的联系：背包的每个容量就是“状态”,选择每个物品就是“状态的决策”。
01 背包
问题描述
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
问题特点
每种物品仅有一件，可以选择放或不放，用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。
状态转移方程
\(f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}\)
完全背包
问题描述
有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
问题特点
按照01思路的想法，策略从取或者不取变成每种取多少个
状态转移方程
\(f[i][v]=max{f[i-1][v-kc[i]]+kw[i] | 0\ge kc[i]\le v}\)
多重背包
问题描述
有 N 种物品和一个容量为 V 的背包。第 i 种物品最多有 M i 件可用,每件耗费的
空间是 \(C_i\) ,价值是 \(W_i\) 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间总和不超
过背包容量,且价值总和最大。
例题
- (HDU 2602) The bone collector had a big bag with a volume of V ,and along his trip of collecting there are a lot of bones , obviously , different bone has different value and different volume, now given the each bone’s value along his trip , can you calculate out the maximum of the total value the bone collector can get ?
#include <iostream>
#include <cstring>
#define maxn 1010
using namespace std;
int volume[maxn]={0};
int value[maxn]={0};
int dp[maxn]={0};
int main(){
int t,n,v,i,j;
cin >> t;
while(t--){
memset(volume,0,sizeof(volume));
memset(value,0,sizeof(value));
memset(dp,0,sizeof(dp));
cin >> n >> v;
for(i=0;i<n;i++)
cin >> value[i];
for(i=0;i<n;i++)
cin >> volume[i];
if(n==0 || v==0){
cout << '0'<< endl;
continue;
}
for(i=0;i<n;i++){
for(j=v;j>=volume[i];j--){
dp[j] = max(dp[j],dp[j-volume[i]]+value[i]);
}
}
cout << dp[v] << endl;
}
}
- (HDU1248) 我们这里有三种道具,血瓶150块一个,魔法药200块一个,无敌药水350块一个." 共有N元，求结余最少；
#include <iostream>
#include <cstring>
#define maxn 10001
using namespace std;
int cost[3]={150,200,350};
int value[3]={150,200,350};
int dp[maxn]={0};
int main(){
int t,n,i,j,out=0;
cin >> t;
while(t--){
out = 0;
memset(dp,0,sizeof(dp));
cin >> n;
if(n<150){
cout << n << endl;
continue;
}
for(i=0;i<3;i++){
for(j=0;j<=n;j++){
if(j>=cost[i]){
dp[j] = max(dp[j],dp[j-cost[i]]+value[i]);
out = max(out,dp[j]);
}
}
}
cout << n-out << endl;
}
}
- (HDU2191)急！灾区的食物依然短缺！
为了挽救灾区同胞的生命，心系灾区同胞的你准备自己采购一些粮食支援灾区，现在假设你一共有资金n元，而市场有m种大米，每种大米都是袋装产品，其价格不等，并且只能整袋购买。
请问：你用有限的资金最多能采购多少公斤粮食呢？
思路一：转化为01背包问题，把所有的物品都作为候选项，判断这个物体是否放；简单直观；
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
struct rice{
int p;
int h;
int c;
}rices[2001];
int c,n,m,num,i,j;
int dp[2001]={0};
int main(){
cin >> c;
while(c--){
memset(dp,0,sizeof(dp));
memset(rices,0,sizeof(rices));
cin >> n >> m;
for (i=0,j=0;i<m;i++,j++){
cin >> rices[j].p;
cin >> rices[j].h;
cin >> num;
for (int k=0;k<num-1;k++){
rices[k+1+j].p = rices[j].p;
rices[k+1+j].h = rices[j].h;
}
j += num-1;
}
num = j;
int maxo = 0;
for(int i=0;i<num;i++){
for(int j=n;j>=rices[i].p;j--){
dp[j] = max(dp[j],dp[j-rices[i].p]+rices[i].h);
//maxo = max(maxo,dp[j]);
}
}
cout << dp[n] << endl;
}
}
