数据结构

Introduction

Analyzing Algorithms

  1. 插入排序：与左边的元素进行比较。

  2. RAM Model

    1. 原子操作
    2. 常数时间操作
    3. 顺序执行
    4. \(t_j\) ：while 循环的次数

Asymptotic Notation Divide-and-Conquer

  1. 渐进记号

    1. \(\Theta\)
    2. \(O=\leq\)
    3. \(\Omega=\geq\)

  2. 具体复杂度和抽象复杂度

    1. concrete：use RAM model，including a lot of 细节。
    2. abstract：use 渐进记号 analyze.

Solving Recurrences – 1

  1. 递归式的定义：描述具有递归调用的算法运行时间，通过小的输入上的已知的函数值来describe a function.

  2. 矩阵乘法的Divide and Conquer Algorithm

image

Solving Recurrences – 2 Sorting - 1

  1. 代入法

    1. 重复替代
    2. 观察模式
    3. 确定合适的steps

  2. 递归树
    image

  3. 主方法

    1. 第一种情况：若 \(f(n)<n^{\log_{b}^a}\)，那么 \(T(n)=\Theta(n^{\log_{b}^a})\) 。
    2. 第二种情况：若 \(f(n)=n^{\log_{b}^a}\)，那么 \(T(n)=\Theta(n^{\log_{b}^a}\log n)\) 。
    3. 若 \(f(n)>n^{\log_{b}^a}\)，那么 \(T(n)=\Theta(f(n))\) 。

  4. 循环不变性：循环执行过程中某些条件或属性始终为true的一种assertion。这些条件在循环的每次迭代中都是true的，并且在开始和结束后都是true.

    1. 不变性断言：提出的不变性假设。
    2. Initialization:循环开始之前初始状态满足所需的条件。
    3. Maintenance：每次迭代都不会破坏不变性条件，一次迭代前true，下一次迭代前也true.
    4. Termination：迭代结束时，不变性需要提供足够的信息来prove the correctness of the algorithm.

  5. 选择排序：顺次选i~l最小的即可，然后swap(i,l) 。

Sorting - 2

  1. 复杂度：

    1. concrete：算法的运行时间或所需步骤的数量，是一个具体的数值。
    2. abstract:关注算法性能的总体趋势，通常使用大O表示法。

  2. heapify：维持堆的结构。

Basic Data Structures

  1. ADTs：数据集合和操作集合的抽象。
    1. 特点
      1. 隐藏了具体的实现细节，只暴露了操作的接口。
      2. 独立于实现方式。
      3. 封装了数据结构和算法，不用关心内部的实现机制。
    2. 优点
      1. 关注操作。
      2. 不用关注如何实现
      3. 将truth和efficiency depart，因为关注的是操作的逻辑，而不是具体的实现。
    3. 与data structure的关系
      1. 抽象 vs 具体
      2. 规范 vs 实现

Data Structures - 2

散列表/哈希表

  1. 散列函数应当将一个大范围的键均匀的放到有限数量的槽位上。

  2. 冲突解决

    1. 链接法
    2. 开放寻址法
      1. 线性探测法：顺序找下一个空闲槽位。不好的点在于：多个元素连续的储存在相邻的位置上。
      2. 二次探测法：use 二次函数探测下一个空闲的位置，\(hash + i^2\) 。优点是减少聚集，缺点是实现复杂计算开销大。
      3. 双哈希：use 第二个哈希函数来确定下一个探测的位置，\(hash + hash2*i\) 。优点可以避免聚集且不会像二次探测有规律的变大。缺点实现复杂要俩哈希函数。

关于Ordered list Query Modify 一些函数的q

  1. 选择好的散列函数
    1. 哈希表的大小尽量为质数。
    2. 选择合适大小的模数。

Trees

delete：find successor point.
add：according to the rule

B-tree:

  1. defination
    1. 所有叶子depth相同。
    2. 每个内部节点有a个key和a+1个指向子节点的link
    3. p1 key1 p2 key2 ...... pn keyn pn+1,keyi 单调向上 。
    4. |keyi|keyi+1|，keyi比左边的link指向的key大，比右边的小。
    5. m阶b树，最少 \(\lceil\frac{m}{2}\rceil\) 个branches。
  2. 操作
    1. 插入：找到插入的位置进行插入，若没有上溢出，不用adjust，else 将中间元素 \(\lceil\frac{m}{2}\rceil\) 上移两边fracture。
    2. 构建：不断插入即可。
    3. 删除：删除非叶节点元素都相当于是删除叶节点元素（nxt or pre），若未下溢出无需adjust，若下溢出，兄弟够借的话借，不够的话，合并即可。

Dynamic Programing

  1. 记忆化比递推（自底向上方法）慢（因为递归的原因）

Elementary Graph Algorithms

  1. dfs中顶点的属性

    1. 颜色属性：

      1. 白色：未被访问过。
      2. 灰色：已被访问过，但还在栈中。
      3. 黑色：已被访问过，但已经不在栈中。

    2. 时间戳属性：

      1. 发现时间Discovery Time。
      2. 完成时间Finishing Time。

    3. 父属性

      1. 父节点指向其在Tree里的上一个节点。

  2. 基于dfs的边分类

    1. 树边
    2. 非树边
      1. 后向边：连接到了祖先的边。
      2. 自环：连接到了相同的点。
      3. 前向边：连接到了已经被访问过的后代。（无向图没有）
      4. 交叉边：两个点在不同的dfs树中。（无向图没有）

Strongly Connected Components & Minimum Spanning Trees

强连通分量

使用Kosaraju算法

  1. DFS记录Finishing Time.
  2. 构造反图（即转置）。
  3. 逆向图上DFS，从Finishing Time最大的点开始。
    重复2.3.得到的各个集合就是一个强连通分量。

prim&kruscal

1.safe edge，最小的可以选择的合法边。

通用算法

  1. A边集合respect(S,V-S)意味着集合A中没有边跨过该割。

    1. 初始化：随机选择一个点作为起始点。
    2. 寻找轻边
    3. update MST and 割，使得新的割still respect MST。
      重复2.3.直到MST包含所有顶点。

  2. 与prim和kruscal的关系

    1. 基于点的MST算法，管理一个increasing tree A，under the framework of 通用算法，每次扩展新边，然后将新点加入
    2. 基于边的MST算法，对于每一个点边集，通过寻找轻边来进行合并，然后update每一个点边集。
posted @ 2024-06-06 10:06  _daybreak  阅读(6)  评论(0)  编辑  收藏  举报