视觉SLAM第四讲李群与李代数习题

一、验证$SO(3)、SE(3)、SIM(3)$关于乘法成群

首先引入一下群的定义。

群 (Group) 是一种集合加上一种运算的代数结构。我们把集合记作 $A$, 运算记作 $.$,那么一个群可以记作 $G=(A, \cdot)$ 。群要求这个运算满足以下几个条件:

封闭性: $\forall a_1, a_2 \in A, \quad a_1 \cdot a_2 \in A$.

结合律: $\forall a_1, a_2, a_3 \in A, \quad\left(a_1 \cdot a_2\right) \cdot a_3=a_1 \cdot\left(a_2 \cdot a_3\right)$.

么元: $\exists a_0 \in A$, s.t. $\forall a \in A, \quad a_0 \cdot a=a \cdot a_0=a$.

逆: $\forall a \in A，\quad \exists a^{-1} \in A, \quad$ s.t. $a \cdot a^{-1}=a_0$.

首先验证 $SO(3)$关于乘法成群

\[SO(3) = \{\mathbf{R}\in \mathbb{R} ^{3\times3} | \mathbf{R}\mathbf{R}^\top = \mathbf{I}, \det(\mathbf{R})=1 \} \]

封闭性：

设任意$R_1，R_2 \in SO(3)$，则有：

\[R_1R_2(R_1R_2)^T = R_1R_2{R_2}^T{R_1}^T = I \]

此时，$R_1,R_2$的乘法结果属于正交矩阵得证；

\[det(R_1R_2) = det(R_1) \times det(R_2) = 1 \]

此时，$R_1,R_2$的乘法结果行列式值为1得证；

综上，对于任意$R_1，R_2 \in SO(3)$，有$R_1R_2 \in SO(3)$。

结合律：

由于矩阵乘法是满足结合律的，所以有：

\[(R_1R_2)R_3 = R_1(R_2R_3) \]

么元：

对于单位矩阵$I \in SO(3)$，容易证明其是么元。

任意$R \in SO(3)$

\[IR = RI = R \]

逆：

根据$SO(3)$的定义，容易验证，对于任意的$R \in SO(3),\exist (R^T = R^{-1})\in SO(3)$，使得$RR_{-1} = I$。

验证 $SE(3)$关于乘法成群
\[SE(3) = \{\mathbf{T} = \begin{bmatrix} \mathbf{R} & \mathbf{t}\\ \mathbf{0} & 1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{4\times 4} | \mathbf{R} \in SO(3), \mathbf{t}\in \mathbb{R}^3 \} \]

封闭性：

设任意$\mathbf{T_1} = \begin{bmatrix} \mathbf{R_1} & \mathbf{t_1}\\ \mathbf{0} & 1 \end{bmatrix},\mathbf{T_2} = \begin{bmatrix} \mathbf{R_2} & \mathbf{t_2}\\ \mathbf{0} & 1 \end{bmatrix}$，则有：

\[\mathbf{T_1T_2} = \begin{bmatrix} \mathbf{R_1R_2} & \mathbf{R_1t_2+t_1}\\ \mathbf{0} & 1 \end{bmatrix} \]

由上一题的证明，有$R1R_2 \in SO(3)$,根据矩阵维数得到$R_1t_2+t_1 \in\mathbb{R}^3 $

所以，$T_1T_2 \in SE(3)$

结合律：

由于矩阵乘法是满足结合律的，所以有：

\[(T_1T_2)T_3 = T_1(T_2T_3) \]

么元：

对于单位矩阵$I \in SE(3)$，容易证明其是么元。

任意$T \in SE(3)$

\[IT = TI = T \]

逆：

根据$SE(3)$的定义，对于任意$\mathbf{T} = \begin{bmatrix} \mathbf{R} & \mathbf{t}\\ \mathbf{0} & 1 \end{bmatrix} \in SE(3)$，我们设$T' = \begin{bmatrix} \mathbf{R^{-1}} & \mathbf{-R^{-1}t}\\ \mathbf{0} & 1 \end{bmatrix} \in SE(3)$，

容易验证$TT' = I $

验证$SIM(3)$关于乘法成群

$SIM(3)$，就是在$T$的基础上添加了一个尺度变化因子$s$。

\[SIM(3) =\{\mathbf{S} = \begin{bmatrix} \mathbf{sR} & \mathbf{t}\\ \mathbf{0} & 1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{4\times 4} | \mathbf{R} \in SO(3), \mathbf{t}\in \mathbb{R}^3,s \in \mathbb{R} \} \]

其证明$SE(3)$类似，不再赘述。

二、验证$(\mathbb{R}^3,R,\times)$构成李代数

首先引入一下李代数的定义。

李代数由一个集合$V$，一个数域$F$，一个二元运算$[,]$组成，如果满足下面的条件，则称 $(\mathbb{V}, \mathbb{F},[,])$ 为一个李代数。

李代数满足如下性质：

封闭性

$\forall X, Y \in \mathbb{V}, 有[X,Y] \in \mathbb{V}$ ，

双线性

$\forall X, Y,Z \in \mathbb{V}, a，b \in \mathbb{F}$ ，有：

\[[a \boldsymbol{X}+b \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z}]=a[\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Z}]+b[\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z}], \quad[\boldsymbol{Z}, a \boldsymbol{X}+b \boldsymbol{Y}]=a[\boldsymbol{Z}, \boldsymbol{X}]+b[\boldsymbol{Z}, \boldsymbol{Y}] \]

自反性

$\forall \boldsymbol{X} \in \mathbb{V},[\boldsymbol{X}, \boldsymbol{X}]=\mathbf{0}$,

雅可比等价

$\forall X, Y, Z \in \mathbb{V},[X,[Y, Z]]+[Z,[\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}]]+[\boldsymbol{Y},[\boldsymbol{Z}, \boldsymbol{X}]]=0$.