[数学] 三角形三条中线围成的面积

题目

在\(\triangle \text{ABC}\)中，\(\text{AD, BE, CF}\)分别是\(\text{BC, AC, AB}\)边上的中线，且三线交于点\(\text{G}\)。设\(S_{\triangle\text{ABC}}=S\)，求\(\text{AD, BE, CF}\)三边围成的三角形面积，用\(\text{S}\)表示。

来，上图！（就是这三条蓝色的边）：

解答

此题解法有很多，这里选取一种计算比较简单的解法：

首先，由三角形重心的性质中“重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍”，可得\(\text{FG}=\frac12\text{CG}\)。

由于这三条边并不能简单地组成一个三角形，因此考虑进行平移。

在此之前，由于三条线段太长，先考虑能否放缩。这里当然可以，因为由上述性质，\(\frac{\text{AG}}{\text{AD}}=\frac{\text{BG}}{\text{BE}}=\frac{\text{CG}}{\text{CF}}=\frac23\)，可以用海伦公式或者三角形的相似证明\(\text{AG, BG, CG}\)组成的三角形的面积是\(\text{AD, BE, CF}\)组成的三角形的\((\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}\)。

由于\(\text{F}\)点是中点，考虑进行中线加倍。
而且恰巧，如果对\(\text{GF}\)延长（加倍）至\(\text{H}\)可以使\(\text{CG}\)转移至\(\text{GH}\)。

如图：

通过简单的中线加倍，我们成功地把\(\text{CG}\)移到了\(\text{HG}\)，把\(\text{BG}\)移到了\(\text{AH}\)。

这样一来，我们就构造了一个和原来三条边具有强关联性的\(\triangle\text{AGH}\)。

接下来就比较简单了：

由于\(\text F\)是\(\text{HG}\)的中点，得\(S_{\triangle\text{AGH}}=2S_{\triangle\text{AGF}}\)。

再由\(\text{D, E, F}\)三个中点以及\(\text G\)重心的性质，易推出\(S_{\triangle\text{AGF}}=\frac16 S_{\triangle\text{ABC}}=\frac16 S\)。

因此，\(S_{\triangle\text{AGH}}=\frac13 S\)。

接下来，由于

\(\text{AG, BG, CG}\)组成的三角形的面积是\(\text{AD, BE, CF}\)组成的三角形的\((\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}\)。

这一条结论，以及\(\text{AG, BG, CG}\)组成的三角形其实就是\(\triangle\text{AGH}\)，我们可以得出题目的答案为\(\frac13 S\div\frac49=\frac34 S\)。

因此，有结论：
三角形的三条中线所围成的三角形的面积，等于原三角形的\(\frac34\)。