移码及浮点数在内存中的存储方式

原博客搬移到：https://blog.csdn.net/u013171226/article/details/107680361

 

 

 

First of all,we need to know how the decimal decimal is converted into a binary decimal.计算机根本就不认识10进制的数据，他只认识0和1，所以，10进制的小数在计算机中是用二进制的小数表示的。

十进制的小数转化为二进制的小数的方法：

可以简单的概括为正序取整，将十进制的小数部分乘以2，然后取整数部分。

例如将0.2转化为二进制的小数，那么0.2*2=0.4，其整数部分是0，所以二进制小数的第一位为0，然后0.4*2=0.8，其整数部分是0，所以二进制小数的第二位为0,然后0.8*2=1.6，其整数部分是1，所以二进制小数的第三位是1,然后0.6*2=1.2，其整数部分是1，所以二进制小数的第四位是1。就这样一直计算下去，

再例如8.25用二进制怎么表示：首先8用二进制表示是1000，然后0.25*2=0.5，其整数部分是0，所以二进制小数的第一位是0.然后0.5*2=1.0，所以二进制小数的第二位是1，所以8.25用二进制表示就是1000.01.

移码：已知一个10进制数，怎么求它所对应的移码，补码的符号位取反就是移码，或者是加上128(假设是8位)，可以这么理解，但是这样说应该是不对的，补码应该是没有符号位的，确切的说应该是，补码的最高位取反就是移码，或者是加上128.

例如，要求1的移码，1+128=129，,129=1000 0001或者用先求补码然后符号位取反的方法，那么先求出1的补码，1的补码是0000 0001，然后把他的符号位取反得到1000 0001，可以看到，两种方法求得的结果是一样的，

再比如求-1的移码，-1+128=127=0111 1111，或者可以先求出-1的补码，-1的补码是1111 1111，那么把符号位取反得到移码0111 1111，两种方法得到的结果是一样的。

另外，这里求解移码的方法和下面浮点数存储的时候求移码（阶码）的方法是不一样的，百度输入移码，上面一般会说，移码一般用作浮点数的阶码，但是这里说的移码的求法是补码加上128或者补码的符号位取反，而下面求浮点数阶码的时候是补码加上127。

另外，为什么要用移码表示阶码，而不用补码表示阶码，采用这种方式表示的目的是简化比较。因为，指数必须是有符号数才能表达很大或很小的数值，如果采用补码表示的话,首先小数是有符号的，如果指数也是有符号的，那么就不能简单的对浮点数进行大小比较。因为根据补码比较大小的话，要先转换成原码再比较大小，正因为如此，指数部分使用所谓的偏正值形式表示，实际值为原始值与一个固定值(8位的情况是127)的和。将它的值调整到一个无符号数的范围内以便进行比较。因为移码没有符号位，所以我们直接可以由移码的表示形式看出对应数值的大小，由此可见，移码是没有符号位的，移码的最高位不能看做是符号位而应看做是数值位，例如上面的1000 0001把最高位看成数值位才得到129。

C语言浮点数存储方式

浮点数（单精度float和双精度的double）在内存中是以二进制的科学计数法表示的, ，主要由三部分构成：符号位+阶码+尾数。float存储时使用4个字节，double存储时使用8个字节。各部分占用位宽如下所示：

             符号位     阶码      尾数     长度

float              1         8         23      32

double          1         11        52      64

符号位：0表示正数，1表示负数，注意这里的符号位是尾数的符号不是指数部分的符号，注意，所有的浮点数都是有符号数，不能定义unsigned float，这样定义的话，编译器会报错，当然有的编译器只是警告而不报错，

阶码（指数部分）：用于存储科学计数法中的指数数据，并且采用移位存储，

尾数部分：尾数部分下面会详细说明，

其中float的存储方式如下图所示：

 

而双精度的存储方式为:

 

关于尾数部分需要说明一下：注意，尾数用的是原码，8.25用二进制表示可表示为1000.01,用二进制的科学计数法可以表示为1.00001*，120.5用二进制表示1111000.1用二进制的科学计数法可以表示为1.1110001*,任何一个数的科学计数法表示都为1.xxx*,因为尾数部分小数点前面都是1，所以可以将小数点前面的1省略，尾数部分就可以表示为xxxx，例如，0.5的二进制形式为0.1，由于规定正数部分必须为1，将小数点右移1位，则为1.0*2^(-1)，而尾数1.0去掉整数部分为0，补齐0到23位00000000000000000000000，则其尾数部分就是 00000000000000000000000，由于将前面的1都省略了，所以23bit的尾数部分，可以表示的精度却变成了24bit，道理就是在这里，那24bit能精确到小数点后几位呢，我们知道9的二进制表示为1001，所以4bit能精确十进制中的1位小数点，24bit就能使float能精确到小数点后6位，

关于阶码的求法：例如对于3，想求3对应的阶码是多少，方法是补码加上127，3+127=130=1000 0010（注意最高位也是数值位），再例如求6所对应的阶码，6+127=133=1000 0101，

已知阶码，想求出原始的数据，方法是阶码减去127，例如1000 0010=130，然后130减去127=3，再例如1000 0101=133，然后133-127=6，

下面举例说明浮点数在内存中的存储方式，知道了尾数的省略1的规定，知道了阶码的求法，接下来就可以看两个浮点数存储的例子了，例如8.25，首先转换为二进制的小数是1000.01=1.00001*2^3，首先确定符号位，8.25是正数因此符号位是0，然后求阶码，3的补码加上127的补码=1000 0010.然后是尾数部分，尾数的表示：去掉小数点前面的1，为00001，后面补充0至23位：000 0100 0000 0000 0000 0000最终8.25在内存里存储的二进制为：0100 0001  0000 0100  0000 0000  0000 0000，

下面说一下，浮点数存储的时候几个特殊值的问题，

1：如果指数部分不全为0并且不全为1：也就是0<指数部分<255，这种情况称为正规形式，这个时候浮点数就采用上面的介绍的规则计算，这个时候指数E就等于阶码减去127，求小数的时候在小数部分前面添加1，即1.xxxx。

2：如果指数部分E全是0：这时浮点数的指数E等于1-127（而不是0-127，这是规定），求小数的时候不再加上第一位的1，而是还原为0.xxxxxx的小数，这样做是为了表示±0，以及接近于0的很小的数字，  关于0，IEEE规定0.0是一个特殊的数，阶码和尾数全为零来表示浮点的零。

3：如果指数部分E全为1：这个时候如果尾数部分全是0，表示 ± ∞（正负取决于符号位S），如果尾数部分不全为0，表示这个数不是一个数(NaN，not a number)。

 

指数的取值范围是多少：通过上面对于常规形式和非常规形式的分析，那么现在来看一下浮点数的指数取值范围是多少，指数部分是一个无符号整数，这意味着，对于float类型，由于指数部分是8位，因此它的取值范围是0到255，当阶码是0的时候，根据上面的规定，这个时候指数是1-127=-126，而当阶码等于255的时候又是特殊值，所以不能算，当阶码是254的时候，指数等于254-127=127，因此可以不恰当的说指数的取值范围是-126到127. 

关于float型变量所能表示的数的范围的问题：先来分析一下float类型所能表示的绝对值最大的数，上面分析了指数的最大值是127，而尾数部分的最大值就是23个1，这个时候就是float所能表示的最大值，这个值是1.111 1111 1111 1111 1111 1111*2^127=3.4*10^38.当符号位是1时表示负数-3.4*10^38。

float所能表示的绝对值最小的数是多少呢，当指数部分全是0的时候，这个时候指数=1-127=-126，然后尾数部分的最小值000 0000 0000 0000 0000 00001，这个时候小数是0.000 0000 0000 0000 0000 0001.因此浮点数所能表示的绝对值最小的数应该是1*2^-149 。（这个不太确定，好像是求错了，）

关于浮点数的上溢和下溢： 在C Primer Plus的第三章后面有一个编程练习题，“通过试验的方法，观察系统如何处理整数上溢，浮点数上溢，浮点数下溢的情况”参考答案是这样的；

#include<stdio.h>

int main(void)

{

unsigned int a=4294967295;

    float b=3.4E38;

    float c=b*10;

    float d=0.1234E-2;

    printf("%u+1=%u\n",a,a+1);

 printf("%e*10=%e\n",b,c);

 printf("%f/10=%f\n",d,d/10);

 return(0);

}

/*

在VC++6.0中的输出结果为：

4294967295+1=0

3.400000e+038*10=1.#INF00e+000

0.001234/10=0.000123   丢失了一个有效数字

Press any key to continue

*/

刚开始的时候不理解，0.001234/10=0.0001234，那么不就是1.234E-4吗，浮点数完全可以存储这个数，怎么就会丢失有效位了呢，再仔细看了一下才发现，程序里面的printf函数用的是%f输出，%f是普通的十进制输出，并不是科学计数法输出，因此会丢失有效位，而如果把%f换成%e或者%E，那么0.001234除以10之后是不会丢失有效位的，

再例如：

#include<stdio.h>

int main(void)

{

    int a = 0x00000009;

    float b;

    b = (float)a;

    printf("%e\n",a);

    return 0;

}

如果用%f输出的话，那么得到的结果将是0.000000.因为将0x00000009拆分，得到第一位符号位s=0，后面8位的指数E=00000000，最后23位的有效数字M=000 0000 0000 0000 0000 1001。由于指数E全为0，所以求指数的时候是1-127=-126，而求小数部分的时候前面不是添加1而是添加零，因此，浮点数V就写成：V=(-1)^0×0.00000000000000000001001×2^(-126)=1.001×2^(-146)，这个时候用%f输出的话，得到的结果就是0了，

浮点数存储的时候存在误差的问题：举例说明，2.2，将十进制的小数转换为二进制的小数的方法是：将小数*2，取整数部分。

   0.2×2=0.4，所以二进制小数第一位为0.4的整数部分0；

   0.4×2=0.8，第二位为0.8的整数部分0；

   0.8×2=1.6，第三位为1；

   0.6×2=1.2，第四位为1；

   0.2×2=0.4，第五位为0；

   ...... 这样永远也不可能乘到=1.0，得到的二进制是一个无限循环的排列 00110011001100110011...

对于单精度数据来说，尾数只能表示24bit的精度，所以2.2的 float存储为:

但是这种存储方式，换算成十进制的值，却不会是2.2。因为在十进制转换为二进制的时候可能会不准确，这样就导致了误差问题！所以在浮点数表示中，某些数在存储的时候就会存在误差，而对于有些数据（如2.25），在将十进制转换为二进制表示的时候恰好能够计算完毕，所以这个误差就不会存在。

怎么比较两个浮点数的大小：很多C程序员的笔试会有浮点数比较大小的题目，因为浮点型只是一个近似值，也就是一个值可能表示一个范围区间，这样的表达方式就使得对浮点型数据采用做差判断是否等于0的方法进行比较可能不合理，只有通过比较一个数是否在这个小的范围内，因此在计算值比较两个浮点数变量不能通过做差是否等于零来判断。而只能通过如下的方式判断：

const float ESPSION = 0.000001；

if((x-y)>=-0.000001&& (x-y)<=0.000001)

这种实现方式是基本的比较方式，这种判断方法刚好就是判断变量是否处于一个范围内，这里的范围是-0.000001<x<0.000001。判断一个值是否为0的方式用大于-0.000001小于0.000001来判断，这样浮点的0是一个很接近于0数，但不是0，这样就不会引发除0错误，0.0其实不是0，当x落在了±0.000001之内，x + 1.0 = 1.0，就是这么规定的。x在此范围之内的话，都被计算机认为是0.0 。

在看C Primer Plus的时候，有一个课后题是关于浮点数的上溢和下溢的问题，看了答案之后感觉不明白，于是去查一下浮点数的存储问题，这一查才发现浮点数的存储牵扯到的东西还挺多的，由于智商平平，浮点数的存储这个小问题前前后后竟然耽误了10天左右的时间，看了一个又一个的博客，最后才算对浮点数的存储稍微了解了，下面是自己做的笔记，部分内容是复制的别人的博客，无意侵权，纯粹是为了做笔记。

笔记中如有错误恳。各位前辈指正，好让我及时改正，以免我把错误的东西当成正确的了，