初等变换和阶梯矩阵【】

文章目录

• 初等变换
• 行列初等变换
• 行列式的性质
• 行列式的初等变换
• 矩阵的初等变换
• 阶梯矩阵
• 行阶梯型矩阵
• 行最简阶梯型矩阵

初等变换

• 行列式变换：面积不变。为了出现尽可能多的0，方便展开式。
• 矩阵初等变换：方程组同解。为了出现尽可能多的0，方便化简方程（高斯消元法）。

初等变换包括：

• 线性方程组的初等变换
• 行列式的初等变换
• 矩阵的初等变换

行列初等变换

行列式的性质

• 性质1：行列互换，行列式不变
• 性质2：一数乘行列式的一行就相当于这个数乘此行列式
• 性质3：如果行列式中有两行相同，那么行列式为0，所谓两行相同，即两行对应的元素都相等
• 性质4：如果行列式中，两行成比例，那么该行列式为0
• 性质5：把一行的倍数加到另一行，行列式不变
• 性质6：对换行列式中两行的位置，行列式反号

行列式的初等变换

求解行列式的值时可以同时使用初等行变换和初等列变换。

1. 换行变换：交换两行（列）。

换法变换的行列式会变号；

2. 倍法变换：将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以数k。

倍法变换的行列式会变k倍；

3. 消法变换：把行列式的某一行（列）的所有元素乘以一个数k并加到另一行（列）的对应元素上。

消法变换的行列式不变。

矩阵的初等变换

1. 交换矩阵的两行（对调i,j，两行记为$r_{i}$，$r_{j}$）；
2. 以一个非零数k乘矩阵的某一行所有元素（第i行乘以k记为$r_{i}$×k）；
3. 把矩阵的某一行所有元素乘以一个数k后加到另一行对应的元素(第j行乘以k加到第i行记为$r_{i}$+k$r_{j}$)。

类似地，把以上的“行”改为“列”便得到矩阵初等变换的定义，把对应的记号“r”换为“c”。
矩阵的初等行变换与初等列变换合称为矩阵的初等变换。

阶梯矩阵

行阶梯型矩阵

• 每个阶梯只有一行；
• 元素不全为零的行（非零行）的第一个非零元素所在列的下标随着行标的增大而严格增大（列标一定不小于行标）；
• 元素全为零的行（如果有的话）必在矩阵的最下面几行。

行阶梯型矩阵：
$\begin{bmatrix} 1& 0 &-1 \\ 0& 2 &1 \\ 0& 0 & 3 \end{bmatrix}， \begin{bmatrix} 0& 1 & 2&-1 \\ 0& 0 & 0 &1 \\ 0& 0& 0 &0 \\ 0& 0 &0 & 0 \end{bmatrix}$

行最简阶梯型矩阵

• 在阶梯形矩阵中，若非零行的第一个非零元素全是1，且非零行的第一个元素1所在列的其余元素全为零，就称该矩阵为行最简形矩阵。

行最简阶梯型矩阵:
$\begin{bmatrix} 1& 0& 0&-1 \\ 0&1& 0 &-2\\ 0& 0& 1&2 \end{bmatrix}$

行阶梯型矩阵参考资料