初等变换和阶梯矩阵【】
初等变换
- 行列式变换:面积不变。为了出现尽可能多的0,方便展开式。
- 矩阵初等变换:方程组同解。为了出现尽可能多的0,方便化简方程(高斯消元法)。
初等变换包括:
- 线性方程组的初等变换
- 行列式的初等变换
- 矩阵的初等变换
行列初等变换
行列式的性质
- 性质1:行列互换,行列式不变
- 性质2:一数乘行列式的一行就相当于这个数乘此行列式
- 性质3:如果行列式中有两行相同,那么行列式为0,所谓两行相同,即两行对应的元素都相等
- 性质4:如果行列式中,两行成比例,那么该行列式为0
- 性质5:把一行的倍数加到另一行,行列式不变
- 性质6:对换行列式中两行的位置,行列式反号
行列式的初等变换
求解行列式的值时可以同时使用初等行变换和初等列变换。
- 换行变换:交换两行(列)。
换法变换的行列式会变号;
- 倍法变换:将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k。
倍法变换的行列式会变k倍;
- 消法变换:把行列式的某一行(列)的所有元素乘以一个数k并加到另一行(列)的对应元素上。
消法变换的行列式不变。
矩阵的初等变换
- 交换矩阵的两行(对调i,j,两行记为,);
- 以一个非零数k乘矩阵的某一行所有元素(第i行乘以k记为×k);
- 把矩阵的某一行所有元素乘以一个数k后加到另一行对应的元素(第j行乘以k加到第i行记为+k)。
类似地,把以上的“行”改为“列”便得到矩阵初等变换的定义,把对应的记号“r”换为“c”。
矩阵的初等行变换与初等列变换合称为矩阵的初等变换。
阶梯矩阵
行阶梯型矩阵
- 每个阶梯只有一行;
- 元素不全为零的行(非零行)的第一个非零元素所在列的下标随着行标的增大而严格增大(列标一定不小于行标);
- 元素全为零的行(如果有的话)必在矩阵的最下面几行。
行阶梯型矩阵:
行最简阶梯型矩阵
- 在阶梯形矩阵中,若非零行的第一个非零元素全是1,且非零行的第一个元素1所在列的其余元素全为零,就称该矩阵为行最简形矩阵。
行最简阶梯型矩阵: