方阵的行列式【】

文章目录

• 数乘方阵的行列式
• 方阵乘积的行列式
• 分块矩阵的行列式
• 转置矩阵的行列式
• 逆矩阵的行列式

• 方阵才有行列式
• 方阵才有n阶的说法

数乘方阵的行列式

当n阶方阵计算行列式时，记成|A|，读作A的行列式。有：

$|kA|=k^{n}|A| \neq k|A|（n \geqslant 2，k \neq 0,1）$

方阵乘积的行列式

设A，B是同阶方阵，则有：

$|AB|=|A| |B|$

分块矩阵的行列式

设A为m阶矩阵，B为n阶矩阵
当子块均为方阵时，分块矩阵的行列式相当于拉普拉斯展开式（猜测）

$\begin{vmatrix} \begin{bmatrix} A&O\\ O&B \end{bmatrix} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} A&O\\ O&B \end{vmatrix} =|A||B|$

$\begin{vmatrix} \begin{bmatrix} O&A\\ B&O \end{bmatrix} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} O&A\\ B&O \end{vmatrix} =(-1)^{m×n}|A||B|$

转置矩阵的行列式

$|A^{T}|=|A|$

逆矩阵的行列式

$矩阵A存在逆矩阵A^{-1}的前提是A是方阵，且A和A^{-1}是同阶方阵$

$|A^{-1}|=|A|^{-1}$