树上点差分的经典应用 LuoguP3258松鼠的新家
树上点差分的核心就是如何避免重复,即正确的运用差分数组
例如a,b点路径上点权值加1,则把a,b路径找到,并找到其LCA,此时可以把a到根,b到根这两条路径看出两条链,把每条链看出我们熟悉的
顺序差分结构.以其中一条链为例子,把a当成数组的起点,根当成数组的末尾,进行差分,显然有C[a]++,C[f[lca][0]]--(这里f[lca][0]为lca的父节点)
附上图片理解(摘自Oi-wiki)
故对a到b的路径上的差分修改的完整过程为C[a]++,C[b]++,C[lca]--(因为加了两次,要减去1次),C[f[lca][0]]--;
最后附上这条代码(里面还有一些具体应用的细节)
点击查看代码
//本题有点特殊，因为同时作为路径起点与终点的点差分值多算了一次,但仅限于点差分!!!
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef struct edge//链式前向星
{
int to,next;
}EDGE;
EDGE e[600005];//边
int head[300001];//以i为起点的第一条边
int cnt;//边的数量
int number[300001];//答案，同时兼具差分功能
int a[300001];//访问顺序
int f[300001][30];//倍增父节点
int depth[300001];//深度，服务于倍增
inline int read()//快读
{
int s = 0;
char ch = getchar();
while(ch > '9'||ch < '0') ch = getchar();
while(ch >= '0'&&ch <= '9')
{
s = s*10 + ch - '0';
ch = getchar();
}
return s;
}
void add(int x,int y)//加边
{
e[++cnt].to = y;
e[cnt].next = head[x];
head[x] = cnt;
}
void DFS(int x,int fa)//建树及预处理LCA
{
depth[x] = depth[fa] + 1;//深度加1
f[x][0] = fa;//第一个父节点
for (int i = 1;(1<<i)<=depth[x];i++)//倍增父节点
{
f[x][i] = f[f[x][i-1]][i-1];
}
for (int i = head[x];i;i = e[i].next)//遍历子树
{
if(e[i].to == fa) continue;
DFS(e[i].to,x);
}
}
void LCA(int a,int b)//求LCA兼具差分
{
if(depth[a]<depth[b]) swap(a,b);//不妨a的深度大于b
number[a]++;//差分思想
number[b]++;//差分思想
while(depth[a]>depth[b])//向上跳至深度相同
{
a = f[a][(int)(log(depth[a]-depth[b])/log(2))];//以后尽量不用用log写法，容易出错且不美观
}
if(a == b)
{
number[a]--;//祖先减1
number[f[a][0]]--;//祖先的父亲减1，这样保证了LCA只减了1
return;一定要返回
}
for (int i = (int)(log(depth[a])/log(2));i>=0;i--)//以后尽量不用用log写法，容易出错且不美观
{
if(f[a][i] != f[b][i])
{
a = f[a][i];
b = f[b][i];
}
}
number[f[a][0]]--;//同上原理
number[f[f[a][0]][0]]--;
}
void Solve(int x,int fa)//计算子树和
{
for (int i = head[x];i;i = e[i].next)
{
if(e[i].to == fa) continue;
Solve(e[i].to,x);
number[x] += number[e[i].to];//及求区间和，差分思想
}
}
int main()
{
int n = read();//读入节点数
for (int i = 1;i<=n;i++)//读入访问顺序
{
a[i] = read();
}
for (int i = 1;i<=n-1;i++)//建树
{
int x = read();
int y = read();
add(x,y);
add(y,x);
}
depth[0] = -1;
DFS(1,0);//预处理
for (int i = 1;i<=n-1;i++)//求LCA及差分
{
LCA(a[i],a[i+1]);
}
Solve(1,0);//计算子树和，计算区间和(注意这里是先计算区间和,再对多加点进行减法操作)
for (int i = 2;i<=n;i++) number[a[i]]--;//同时为起点终点的多加了一次，要减1，同时最后一点为餐厅，不用糖果，减1
for (int i = 1;i<=n;i++)//输出
{
printf("%d\n",number[i]);
}
return 0;
}
