树状数组学习笔记

1.简介

树状数组是一种初级数据结构，凡是他能做的事情，都可以交给线段树来完成，但是树状数组的书写十分容易，所以很多情况我们都用树状数组来写。

Q：我们为什么要引入树状数组的概念?

A：因为查询区间和，如果用数组的话，那么查询的时候是O(N),修改可以是O(1)。用前缀和查询是O(1),但是修改是O(N)

因此我们提出了一种查询和修改都不是特别慢，也不是特别快的想法，这样可以降低时间复杂度，所以我们提出了树状数组的概念

2.原理

树状数组借鉴了二进制划分范围的思想，下面我们由二进制的想法来引出树状数组。

对于一个数X，他可以被表示为X=2^vk+2^vk-1+……+2^v1

因此他可以被分割成一个个区间：

(X-2^v1,X]

(X-2^v2-2^v1,x-2^v1]

……

(0,x-2^vk-2^vk1-……2^v1]

从这个思路引出树状数组的想法，我们定义C[X]=A(x-2^k+1,X),其中A代表原数组，C代表部分区间和。C[X]的长度是lowbit(x),也就是最后一个1所在的位置。

我们需要快速的求出原数组的指定前缀和，我们可以把前缀和划分成很多个C[X]，这样就能在log范围内求出前缀和了，那么如何知道C[X]代表什么呢？

对于每一个C[X],他的长度都是lowbit(X),根据图形，我们可以把他看作是树的形式，那么如何知道父节点子节点的关系呢？

我们以C8为例来讲解：

8的二进制形式为1000，所以他的长度为8，我们要将他表示为几个C相加的关系，根据上面二进制的思路，每个X都是可以被划分成多个区间，那么C8可以被划分成A8+A(x-2^k+1,x-1)

剩下的X-1可以表示成很多形如01……10这样的前面有连续1后面是连续0的区间，这些区间就是他的子节点。比如C8的子节点就包括C7,C6,C4，因为1000-1=0111，包含(0110,0111)，(0100,0110)，(0000,0100),其实就是不断对x-1求lowbit直到0，注意不是对原数一直到0，比如1100，最终求到的是1000而不是0000，也就是对最末尾的1之后的数求lowbit。

这样就找打子节点和父节点的关系，根据这个关系我们可以看出，每个子节点的父亲都唯一确定，这也是树的特征，因此对原数组进行更新，只要不断地对父节点进行更新直到最大即可，这样保证了树状数组求前缀和的合理性。

3.用法

树状数组普遍适用于以下情况：

1.对一段区间+数

2.查询区间和

3.对一段区间+数后查询原数组中的数据

4.对一段区间+数后查询区间和

总结，只要看出要是对区间加减和求区间和就能用树状数组来写，很多问题可以转化成这两个问题

下面提供数组更新和查询的函数即树状数组常用函数：

int lowbit(int x){  //lowbit函数
    return x&-x;
}
void add(int x,int c){  //单点修改函数
    int i;
    for(i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
        tr[i]+=c;
    }
}
int sum(int x){//区间查询函数
    int res=0;
    int i;
    for(i=x;i;i-=lowbit(i)){
        res+=tr[i];
    }
    return res;
}

4.例题

一、

给定长度为N的数列A，然后输入M行操作指令。

第一类指令形如“C l r d”，表示把数列中第l~r个数都加d。

第二类指令形如“Q X”，表示询问数列中第x个数的值。

对于每个询问，输出一个整数表示答案。

根据题意显然可以看出这是对区间加数并求原数组，一般可以设计差分数组，对差分数组求和就是原函数

二、

给定一个长度为N的数列A，以及M条指令，每条指令可能是以下两种之一：

1、“C l r d”，表示把 A[l],A[l+1],…,A[r] 都加上 d。

2、“Q l r”，表示询问 数列中第 l~r 个数的和。

对于每个询问，输出一个整数表示答案。

根据题意，这是对区间加数并求区间和，这题需要变形，根据题目写出公式，并对公式变形，设计两个树状数组。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include <unordered_map>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
const int inf=0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
int a[N];
ll tr1[N];
ll tr2[N];
ll res1,res2;
int n;
int lowbit(int x){
    return x&-x;
}
void add(ll tr[],int x,ll c){
    int i;
    for(i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
        tr[i]+=c;
    }
}
ll sum(ll tr[],int x){
    ll res=0;
    int i;
    for(i=x;i;i-=lowbit(i)){
        res+=tr[i];
    }
    return res;
}
ll sum1(int x){
    return sum(tr1,x)*(x+1)-sum(tr2,x);
}
int main(){
    int m;
    int i;
    cin>>n>>m;
    for(i=1;i<=n;i++)
    scanf("%d",&a[i]);
    for(i=1;i<=n;i++){
        int b=a[i]-a[i-1];
        add(tr1,i,b);
        add(tr2,i,(ll)b*i);
    }
    while(m--){
        int d;
        string s;
        int l,r;
        cin>>s>>l;
        if(s=="C"){
            cin>>r>>d;
            add(tr1,l,(ll)d);
            add(tr2,l,(ll)d*l);
            add(tr1,r+1,(ll)-d);
            add(tr2,r+1,(ll)(-d)*(r+1));
        }
        else{
            cin>>r;
            cout<<sum1(r)-sum1(l-1)<<endl;
        }
    }
}

三、

有n头奶牛，已知它们的身高为 1~n 且各不相同，但不知道每头奶牛的具体身高。

现在这n头奶牛站成一列，已知第i头牛前面有AiAi头牛比它低，求每头奶牛的身高。

本题显然需要倒序求解，这样我们可以知道对于每个i，他的高度都是剩下来数中的ai+1大，因为用到了区间减以及区间求和，可以用树状数组，再结合二分即可。

4.总结

树状数组原理复杂但是操作简单，使用范围比较单一，需要我们对题目的数据进行发掘，本文中的例题来自《算法竞赛进阶指南》，是我在Acwing网站学习后写下的部分理解，主要是便于自己复习和记录，也希望能够给大家提供帮助，但是由于我的表达能力和对Markdown语法的操作问题，本文对初学者难免会感到晦涩，希望得到大家的理解。在Acwing网站上有一篇十分详细的分享讲述了树状数组，如果有需要可以去食用。