计算几何 学习笔记

发现自己对计算几何一无所知。
例题1：mdoi balance
题目的公式可以视为两个点\((p_i,a_i)\)和\((-q_i,-b_i)\)的连线的斜率。
由于\(p_i,q_i\geq 0\)，所以\((p_i,a_i),(-q_i,-b_i)\)在以\(y\)轴分割的半平面的左/右边。
一条直线的排名等于\((以y轴分割的半平面的左边和直线的上部半平面的交的点数,以y轴分割的半平面的右边和直线的下部半平面的交的点数)\)
如果固定截距，则可能符合条件的直线可以通过nth_element快速算出，找到\((0,z)\)左半平面逆时针第\(a\)个点即可。
引理：当\(z\)增大时，\((0,z)\)左半平面逆时针第\(a\)个点与\((0,z)\)斜率减小。
证明：当\(z\)增大时，\((0,z)\)与右半平面上连接的点的斜率显然会减小，所以\((0,z)\)左半平面逆时针第\(a\)个点与\((0,z)\)斜率会减小。
所以直线的斜率会变小。
而且以y轴分割的半平面的左边和直线的上部半平面的交的点数随着\(z\)的变小，斜率的变小，会减少。
所以得证。
于是可以二分\(z\)判定。
例题2：最大土地面积
发现所有点都在凸包上。
考虑枚举对角线，则两半是独立的。
我们需要求出距离一个对角线最远的点，且要支持\(O(1)\)移动对角线的一个端点。
发现随着对角线端点的移动，距离对角线最远的点也是单调移动的。
所以可以\(O(1)\)修改。
时间复杂度\(O(n^2)\)
例题3：[JSOI2007]合金
经典模型，在BOI2020 某题中也看到了。
SCOI2018出现了该题的加强版。
首先把\((x,y,z)\)变成\((1,\frac{y}{x},\frac{z}{x})\)
把一个材料视为\((\frac{y}{x},\frac{z}{x})\)这个点。
引理：一个点集能够合成的合金就是它的凸包。
证明：两个点能够合成的合金在它们的连线上。
发现多边形内部的每个点都能用两个凸包边上的点合成。
任意引出一条经过当前点的直线，取多边形的边的交点合成即可。
问题转化成选出最少的点，使得这些点的凸包包含全部关键点。
发现如果这些点组成凹多边形，肯定不如组成凸多边形多。
考虑射线法，从某一关键点引出一条射线肯定与多边形有交，这说明每个点都要在多边形所有边的右侧。
构造一张图，如果所有关键点在向量一侧，则两个点有边，否则两个点没有边。
可以最小环解决。
效率\(O(n^2(n+m))\)
例题4：[HAOI2011]防线修建
动态凸包模板题。
维护极角序。
考虑插入当前点后什么点会被删除。
可以找到极角的前驱和后继。
然后使用叉积判定。
如果要可持久化，需要用可持久化平衡树维护。
被分裂出的肯定在凸包上是连续的一段，所以可以用平衡树维护。
例题5：高塔与晶石
先二分，问题转化成询问面积\(\leq k\)的三角形个数。
根据joisc某题技巧，按照极角序枚举一个点和它连出的底边。
三角形面积=底\(*\)高/2，如果我们知道高\(\leq 一个值\)的点的个数，我们就可以算出答案。
考虑维护叉积（底\(*\)高）的有序序列，则显然二分一下就可以得到答案。
但是直接做时间复杂度比暴力还差。
把向量两两拿出来按照极角排序，
例题6：HNOI矿区
平面图转对偶图的方法：把每条边拆成2条，使得每条边都属于一个面。
然后把每个点的所有出边按照极角排序。
对于每条边，二分出它按照极角的下一条边。
如果我们得知了每条边的下一条边，则按照"下一条边"构成的若干个环走，则形成了对偶图。
构建对偶图后，把每条原图的边对应的面连边。
找无穷域可以判定面积是否\(<0\)。
考虑如何回答询问。
可以求出对偶图的生成树。
对于所有询问边，如果连接两条非树边则不管。
否则加上"有向子树大小"，就是从如果左到右则ans+=子树大小否则-=子树大小
例题7：wc2013 平面图
平面图上点定位可以扫描线。
在扫描线移动时，点的顺序是不会变的。
在查询时可以平衡树上二分。
例题8：Lost My Music
经典问题，有多种做法
首先把式子转化为\(\frac{c_u-c_v}{d_u-d_v}\)
其中\(d\)为点距离根节点的距离
事实上，我们要寻找一个点和若干个点的斜率的最小值。
这可以再凸包上求切线 。
我们需要维护根到某个点的凸包。
显然可以在弹栈时撤销，然而时间复杂度是错误的。
靠谱做法有如下几种：
1.二分凸包
被删除的点在凸包内水平序肯定是连续一段，所以可以二分弹
2.有根树点分治
维护根到重心的凸包，用根到重心的每个点更新子树。
3.倍增
构造一棵树，使得沿着这颗树的父亲跳，把沿途的序列记下来，是以这个点为结尾的凸包。
被删除的点在凸包内水平序肯定是连续一段，可以倍增出。
事实上这个做法的思想和二分凸包是差不多的。
例题9：3D Histogram
运用极大化思想，题目的贡献就是\((r-l+1)*\min(a_{l...r})*min(b_{l...r})\)
考虑分治。
这样子最小值就拆成了左/右两部分
可以枚举最小值在哪里取到。
1.都在右边取到
显然\(r-l+1\)越大越好，就是\(l\)越小越好
2.一个在左边，一个在右边
事实上\(l\)取值范围是一个区间，可以线段树+凸包查询。
3.都在左边
\(l\)取值是一个前缀，可以线段树+凸包。
实际上，多维也是可做的。
枚举最小值的位置。
维护\(2^d\)颗线段树然后查询。
时间复杂度\(O(2^dn\log_2^3n)\)或者\(O(2^dn\log_2^2n)\)
例题10：【GDOI2004】可怜的绵羊
又是水题
凸包求面积，可以钦定一个点在凸包上，然后三角剖分
钦定一个点在凸包上，求出它的答案。
考虑dp，设\(f_i\)表示按照极角排序后dp到点\(i\)的答案。
转移枚举上一个点\(j\)，要求三角形内没有点即可。
预处理三角形内是否有关键点可以叉积。
例题11：【GDSOI2017】魔兽争霸 x
abns弱化版。。。。
有一结论：最多只会用两种技能。
可以考虑像jsoi合金一样证明。
\(O(n^2)\)枚举技能
列方程\(\min(\frac{hp-xa_i}{a_j},\frac{mp-xb_i}{b_j})c_j+xc_i=y\)
y是权值和。
分类讨论\(\min(\frac{hp-xa_i}{a_j},\frac{mp-xb_i}{b_j})\)的取值。
当\(\frac{hp-x*b_i}{b_j}<\frac{mp-x*b_i}{b_j}\)时会选左边，否则选择右边。
解得分界线\(z\)是\(\frac{mpa_j-hpb_j}{b_ia_j-b_ja_i}\)
当\(x<z\)，\(x\geq z\)时可以得到\(x\)的值。
解得的结果是一次函数。
可以根据斜率知道哪个更优
效率\(O(n^2)\)
例题12：杂题
例题13：[ZJOI2008]瞭望塔
求出什么时候某个折线上部分才能被看到。
显然是一个半平面
直接半平面交即可。
例题14：人烟之山
显然是半平面交+线段树二分。
根据例题13的经验，求出什么时候某个折线上部分才能被看到。
显然是一个半平面。
考虑线段树二分。
先二分出瞭望台在哪个折线上。
然后往左/右线段树二分。
维护区间的半平面的交。
每次查询半平面交在当前位置的取值是否>高度即可。
效率\(O((n+m)\log_2n)\)
例题15：[SDOI2013] 逃考
半平面交/voronoi图应用。
建立v图可以用半平面交。
事实上，两个亲戚控制的区域由其连线的中垂线构成的半平面分割。
可以用半平面交求出一个点周围控制的区域。
然后把相邻的区域之间连1权边，跑最短路即可。
例题16： [POI2009]WSP-Island
有意思的题。
发现如果\(a\)能够直接走到\(b\)，则任何\(a\)到\(b\)的间接路径都不如这条路径优。
答案等于没有被删除的直线的半平面交。
这样子有\(O(n^2)\)条直线，太慢了。
一个点\(x\)连出的所有直线显然只有连出编号最大的才有用，所以每个点最多只会连出\(O(n)\)条有效的直线。
例题17： [SCOI2015]小凸想跑步
例题18：[JSOI2010]冷冻波
先二分，发现二分后一个人能够打的精灵个数是确定的。
判定一个人是否能够打到精灵，可以求出距离。
判定是否和树木相交，可以求出点到直线距离，判定是否小于圆心到直线。
考虑网络流构图：\(s\to 每个人连能够打到精灵的个数\)的边。
如果\(x\)能够打到\(y\)，则\(x\to y\)连\(1\)
\(y\to 汇点\)连\(1\)
判定是否满流即可。
例题19：星座
根据某cf题的经验，有解时所有点在凸包上是连续的。
证明可以归纳。
可以dp计算。
例题20：两个人的星座
如果三角形有且只有两条内公切线，则合法。
考虑极角扫描。
枚举内公切线的一个端点，关于这个端点建立平面直角坐标系。
把其他点按照极角排序。
按照排序顺序枚举所有点，发现所有三角形要在半平面的两边。
在扫描时显然可以快速维护半平面两边的所有颜色的点数。
计算三角形点数，可以把半平面一边和原点不同颜色的点数乘起来。
然后把半平面两部分的点数乘起来就是答案。
效率\(O(n^2\log_2n)\)
例题21：[SCOI2014]舌尖上的方伯伯
例题22：dragon 2
经典模型：如果关于两个集合的询问可以在\(O(\min(sz(A),sz(B)))\)的时间内解决，则问题可以在\(O(n\sqrt{n})\)的时间内解决。
例子有coci某题。
方法是对于\(\min(sz(A),sz(B))<\sqrt{n}\)时直接查询，\(\geq \sqrt{n}\)时记忆化。
时间复杂度正确性可以放缩。
考虑如何快速求。
事实上，一个点能够被贡献的区域是三个半平面的交。
假设道路是AB，当前点是C。
则是AC延长线,AB,BC延长线三个半平面的交。
考虑按照AB两侧分类讨论。把每个点D的属性设为AD,BD和AB的夹角。
然后可以二维数点。
对每个集合建立可持久化线段树，然后将极角离散化即可
例题23：[WC2012]记忆中的水杉树
例题24：[JSOI2016]炸弹攻击2
例题25：CEOI2020道路
例题26：jsoi 绝地反击
又是裸题。
显然先二分。
转化成有若干个区间，看是否存在一种方案，使得关键点能和区间匹配上。
考虑移动圆上的点。
发现如果钦定最优方案上某个点在某个区间的端点上，答案是不会变的。
可以每次暴力匹配。
考虑扫描线。
每次最多只会删除一个匹配。
可以退流。
例题27：卫星基站建设
例题28：破坏蛋糕
例题29：破坏发射台
例题30：ABNS
合金加强版
例题31：经典问题
支持插入/删除的半平面交，但是斜率种类比较少。
显然对于每种斜率只需要保留最上面的一条直线即可。
例题32：GDOI2019 D2B
总结：计算几何十分套路
在考场，所有人应该能够/不能够做出来。
例题33：PKUSC
又是裸题。
可以以原点基准，把多边形三角剖分。
然后事实上我们要计算的是一个点在三角形内的概率。
这事实上可以用点绕源点运动的圆弧和三角形的交来描述。