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【三角学】三角恒等变换公式推导

原文链接：https://www.cnblogs.com/ctjcalc/p/post4.html

三角恒等变换是高中的一个重要的知识，我是在预习时通过自己的方法推导了一遍，个人认为，这样可以加深对其的理解。本文同时也作为一篇学习笔记。

和与差角公式推导

差角的余弦公式推导

差角的余弦公式是三角恒等变换的一系列公式的基础，推导出它，就为接下来的推导铺平了道路。这里使用向量，而不是普通的几何方法。以下为推导过程。

设在平面直角坐标系\(xOy\)中，有角\(\alpha , \beta\)，其始边均与\(Ox\)重合。
设\(\overrightarrow{OA}=(\cos\alpha,\sin\alpha),\overrightarrow{OB}=(\cos\beta,\sin\beta),|\theta|=<\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}>\)
\(\forall \alpha,\beta\in \mathbb{R},\alpha=\beta+\theta+2k\pi\)。
所以对于任意的\(\alpha\)和\(\beta\)，都有\(\alpha-\beta=2k\pi+\theta,k\in\mathbb{Z}\)。
所以

\[\cos(\alpha-\beta)=\cos(2k\pi+\theta)=\cos\theta,k\in\mathbb{Z} \]

所以

\[\begin{align} \cos(\alpha-\beta)&=\frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|} \\ &=\frac{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}{(\cos^{2} \alpha+\sin^{2} \alpha)(\cos^{2} \beta+\sin^{2} \beta)} \\ &= \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \end{align} \]

即

\[\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \]

和角的余弦公式推导

可以根据\(C_{(\alpha-\beta)}\)，得到\(C_{(\alpha+\beta)}\)（根据诱导公式\(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\)和\(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\)得到）。以下为推导过程。

根据$C_{(\alpha-\beta)}$，易得 $$ \begin{align} \cos(\alpha+\beta)&=\cos[\alpha-(-\beta)] \\ &=\cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta) \\ &=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \\ \end{align} $$

总结一下，和与差的余弦公式可以写成这样：

\[C_{(\alpha\pm\beta)}:\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta \]

和与差的正弦公式推导

根据诱导公式\(\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha\)，即可进行转化。

\[\begin{align} \sin(\alpha-\beta)&=\cos[(\frac{\pi}{2}-\alpha)+\beta] \\ &=\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)\cos\beta-\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)\sin\beta \\ &=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta \\ \sin(\alpha+\beta)&=\sin[\alpha-(-\beta)] \\ &=\sin\alpha\cos(-\beta)-cos\alpha\sin(-\beta) \\ &=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \\ \end{align} \]

总结一下，可以写成：

\[S_{(\alpha\pm\beta)}:\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta \]

和与差的正切公式推导

根据商数关系，即\(\tan\alpha=\frac{\alpha}{\beta}\)，再利用之前推导的公式，就可以推导了。

\[\begin{align} \tan(\alpha+\beta)&=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} \\ &=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta} \\ &=\frac{\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{\frac{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}} \\ &=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \\ \tan(\alpha-\beta)&=\tan[\alpha-(-\beta)] \\ &=\frac{\tan\alpha+\tan(-\beta)}{1-\tan\alpha\tan(-\beta)} \\ &=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} \\ \end{align} \]

所以

\[T_{(\alpha\pm\beta)}:\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta} \]

倍角公式推导

在本文中，倍角特指二倍角，其他的\(n\)倍角中的\(n\)不能省略。

其实很简单，根据前面的和角的公式，把\(2\alpha\)用\(\alpha+\alpha\)代入即可。

\[\begin{align} \sin 2\alpha&=\sin(\alpha+\alpha) \\ &=\sin\alpha\cos\alpha+\sin\alpha\cos\alpha \\ &=2\sin\alpha\cos\alpha \\ \cos 2\alpha&=\cos(\alpha+\alpha) \\ &=\cos\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\sin\alpha \\ &=\cos^{2} \alpha-\sin^{2} \alpha \\ \tan 2\alpha&=\tan(\alpha+\alpha) \\ &=\frac{\tan\alpha+\tan\alpha}{1-\tan\alpha\tan\alpha} \\ &=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2} \alpha} \\ \end{align} \]

特别的，倍角的余弦公式还可以转化为仅用一个函数名表示：

\[\begin{align} \cos 2\alpha&=\cos^{2} \alpha-\sin^{2} \alpha \\ &=\cos^{2} \alpha-1+\cos^{2} \alpha \\ &=2\cos^{2} \alpha-1 \\ \cos 2\alpha&=\cos^{2} \alpha-\sin^{2} \alpha \\ &=1-\sin^{2} \alpha-\sin^{2} \alpha \\ &=1-2\sin^{2} \alpha \\ \end{align} \]

总结

这些公式可以用一个表格概括：

三角函数 \(\alpha\pm\beta\) \(2\alpha\)
\(\sin\) \(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\) \(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)
\(\cos\) \(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\) \(\cos 2\alpha=\cos^{2} \alpha-\sin^{2} \alpha \\ =2\cos^{2} \alpha-1\\ =1-2\sin^{2} \alpha\)
\(\tan\) \(\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\) \(\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2} \alpha}\)
posted @ 2019-12-26 21:34  ctjcalc  阅读(22576)  评论(3)  编辑  收藏  举报