线性规划模型的建立与求解—生产问题

某厂生产三种产品Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ。每种产品要经过A,B两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成A工序,它们以A1,A2 表示;有三种规格的设备能完成B工序，它们以B1,B2,B3,表示。产品Ⅰ可在A,B任何一种规格设备上加工。产品Ⅱ可在任何规格的A设备上加工,但完成B工序时,只能在B1设备上加工;产品Ⅲ只能在A2与B2设备上加工。已知在各种机床设备的单件工时、原材料费、产品销售单价、各种设备有效台时以及满负荷操作时机床设备的费用如下表,求最优的生产计划,使该厂利润最大。

设备	产品			设备有效台时	满负荷时的 设备费用/元	设备加工费（元/时台）
	Ⅰ	Ⅱ	Ⅲ
A1	5	10		6000	300	0.05
A2	7	9	12	10000	321	0.03
B1	6	8		4000	250	0.06
B2	4		11	7000	783	0.11
B3	7			4000	200	0.05
原料费/（元/件）	0.25	0.35	0.50
单价/（元/件）	1.25	2.00	2.80

 

1.问题分析

这是一个求最大利润的生产问题，通过建立模型求出一组最优解，使得该厂生产利润最大。已知对于产品I来说，以A₁，A₂完成A工序的产品分别为x₁，x₂件，转入B工序时，以B₁，B₂，B₃完成B工序的产品分别为x₃，x₄，x₅件；对于产品II来说，以A₁、A₂完成A工序的产品分别为x₆，x₇件，转入B工序时，以B1完成B工序的产品为x₈件；对于产品III来说，以A₂完成A工序的产品为x₉件，则以B₁完成B工序的产品也为x₉件。

2.符号说明

设备	产品			设备有效台时	满负荷时的 设备费用/元	设备加工费（元/时台）
	Ⅰ	Ⅱ	Ⅲ
A1	x1	x6		6000	300	0.05
A2	x2	x7	x9	10000	321	0.03
B1	x3	x8		4000	250	0.06
B2	x4		x9	7000	783	0.11
B3	x5			4000	200	0.05
原料费/（元/件）	0.25	0.35	0.50
单价/（元/件）	1.25	2.00	2.80

 

x₁ ：产品I的A1参与生产的产品数量;

x₂：产品I的A2参与生产的产品数量;

x₃：产品I的B1参与生产的产品数量;

x₄：产品I的B2参与生产的产品数量;

x₅：产品I的B3参与生产的产品数量;

x₆：产品II的A1参与生产的产品数量;

x₇：产品II的A1参与生产的产品数量;

x₈：产品II的B1参与生产的产品数量;

x₉：产品III的A2参与生产的产品数量,

  (产品III的B2参与生产的产品数量;)

3.模型假设

（1）生产的产品合格率不发生变化。

（2）不考虑在加工过程中产生的其他费用。

（3）工厂正常生产，销售连续不间断及各项费用等均不发生变化。

（4）各个设备之间运作相互独立。

（5）设备有效台时稳定不变。

4.模型建立

（1）利润  = （单价 -  原料费） *  数量 -  设备费用

这里的产品数量可以使用所有在A或者B加工的数量来表示。

（2）目标函数

     Z = (1.25 - 0.25)(x₁+x₂)+(2 - 0.35)x₈+(2.8 - 0.5)x₉

           -(300/6000)(5x₁+10x₆) - (321/10000)(7x₂+9x₇+12x₉) 

           -(250/4000)(6x₃+8x₈) - (783/7000)(4x₄+11x₉) - (200/4000)7x₅

因为这个产品必须要经过A，B两道工序，所以说使用一个产品参与的所有的A或者B工序数量就可以，

约束条件为：

       

又因为产品在对应的A设备加工的总和等于在对应的B设备加工的总和，

等式约束条件为：

       

5.模型的求解及分析

（1）求解

模型为

max Z = (1.25-0.25)(x₁+x₂) + (2-0.35)x₈ + (2.8-0.5)x₉

-(300/6000)(5x₁+10x₆) - (321/10000)(7x₂+9x₇+12x₉)  

-(250/4000)(6x₃+8x₈) - (783/7000)(4x₄+11x₉) - (200/4000)7x₅

                      

（1）相关程序如下：
clc,clear,close all,format long g                %将数据显示为长整型科学计数
%1.创建优化问题
prob = optimproblem('ObjectiveSense','max');
%2.创建变量
x = optimvar('x',9,1,'LowerBound',0);
c = [1.00,1.65,2.30,300/6000,321/10000,250/4000,783/7000,200/4000];
q = [6000,10000,4000,7000,4000];
Aeq = [5,7,6,4,7,10,9,8,12,11];
%3.创建问题的目标函数
prob.Objective = c(1)*(x(1)+x(2))+c(2)*x(8)+c(3)*x(9)-c(4)*(5*x(1)+10*x(6))-...
                  c(5)*(7*x(2)+9*x(7)+12*x(9))-c(6)*(6*x(3)+8*x(8))-...
                  c(7)*(4*x(4)+11*x(9))-c(8)*7*x(5);
%4.创建问题的约束条件
con1 = [Aeq(1)*x(1)+Aeq(6)*x(6) <= 6000
           Aeq(2)*x(2)+Aeq(7)*x(7)+Aeq(9)*x(9) <= 10000
           Aeq(3)*x(3)+Aeq(8)*x(8) <= 4000
           Aeq(4)*x(4)+Aeq(10)*x(9) <= 7000
           Aeq(5)*x(5) <= 4000];
con2 = [x(1)+x(2)==x(3)+x(4)+x(5)
           x(6)+x(7)==x(8)];
prob.Constraints.con1 = con1;
prob.Constraints.con2 = con2;
%5.求解问题
[sol,fval,flag,out] = solve(prob)
sol.x, format

（2）结果分析：       
fval =1146.56650246305
ans =
                      1200
          230.049261083744
                         0
          858.620689655173
          571.428571428571
                         0
                       500
                       500
          324.137931034483
求得最优解为
x1=1200,x2=230.049261083744,x3=0,x4=858.620689655173，
x5=571.428571428571,x6=0,x7=500,x8=500,x9=324.137931034483。
最优值为Z=1146.56650246305元。
由于结果必定是整数，我们需要把结果取整。
所以
从以上数据可以看出，生产计划为最优时，该厂的利润最大为1146.56650246305元；
最优的生产计划为：
产品I的A1参与生产的产品数量为1200件；
产品I的A2参与生产的产品数量为230件；
产品I的B1参与生产的产品数量为0件；
产品I的B2参与生产的产品数量为859件；
产品I的B3参与生产的产品数量为571件；
产品II的A1参与生产的产品数量为0件；
产品II的A1参与生产的产品数量为500件；
产品II的B1参与生产的产品数量为500件；
产品III的A2参与生产的产品数量为324件，即产品III的B2参与生产的产品数量为324件。

注意事项：

1.在输入系数矩阵Aeq、目标函数系数c、约束条件右端常数项和约束条件符号时，应注意对应的正确位置。

2．在输入目标函数系数c时﹐只需按照原目标函数进行输入,无需转换小数，程序会自动进行相应的调整。。

3．在进行每步的运行时，一定要按步骤进行。

4.如果问题较复杂，一定要注意正确输入，并在输入后进行检查。