差分数组

一、差分数组的定义及用途
1.定义：
对于已知有n个元素的数列d，建立记录它每项与前一项差值的差分数组f：显然，f[1]=d[1]-0=d[1];对于整数i∈[2,n]，我们让f[i]=d[i]-d[i-1]。

2.简单性质：
(1)计算数列各项的值：观察d[2]=f[1]+f[2]=d[1]+d[2]-d[1]=d[2]可知，d[i]=f[i]的前缀和。
(2)计算数列每一项的前缀和：第i项的前缀和即为数列前i项的和，那么推导可知

即可用差分数组求出数列前缀和；

3.用途：
(1)快速处理区间加减操作：
对数列区间[L,R]中的每个数加上x，我们通过性质(1)知道，第一个受影响的差分数组中的元素为f[L],即令f[L]+=x，那么后面数列元素在计算过程中都会加上x；

最后一个受影响的差分数组中的元素为f[R],所以令f[R+1]-=x，即可保证不会影响到R以后数列元素的计算。

这样我们不必对区间内每一个数进行处理，只需处理两个差分后的数即可；

(2)询问区间和问题：
由性质(2)我们可以计算出数列各项的前缀和数组sum各项的值；那么显然，区间[L,R]的和即为ans=sum[R]-sum[L-1];