Manacher(马拉车)算法详解

给定一个字符串，求出其最长回文子串

eg:  abcba

第一步： 在字符串首尾，及各字符间各插入一个字符（前提这个字符未出现在串里）。

　　　　　　　　　　如  原来ma 　　　　 /* 　　　　　　　a　　　　   b　　　　　 a 　　　　  b　　　　  c　　　　　 */

　　　　　　　　　　　  更改ma　　　　/*　　$ 　　# 　　a　　 #　　 b 　　# 　　a 　　#　　b　　#　　c　　#　　 */

第二步：设置两个变量，mx 和 id 。mx 代表以 id 为中心的最长回文的右边界，也就是mx = id + mp[id]；

　　　　　　　　　　　　　　

 

　　　　　　　　id是已知的最长的回文串的中心，我们可以发现i关于id对称是j。由于i从2开始枚举过来，早就经过了j的位置，所以j位置的最长回文串已经确定如图所示

　　　　　　　　**如果回文串的子串也是回文串，那么这个子串关于主串中心对称而得的子串也是一个回文串

　　　　　　　　　如果i点跑到mx（id点回文串所确定的范围边界）外面去了，那么j点无论如何缩减范围都不可能是id回文串的子串，就不满足上面加粗的结论了。就一定只能从1开始慢慢试探。这就是当i>mx的时候，mp[i] = 1的原因了

 

　　　　　　　　根据回文的性质，p[i] 的值基于以下三种情况得出：

 

　　　　　　　　（1）j 的回文串有一部分在 id 的之外，如下图：

 　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

　　　　　　上图中，黑线为 id 的回文，i 与 j 关于 id 对称，红线为 j 的回文。那么根据代码此时mp[i] = mx - i，即紫线。那么p[i]还可以更大么？答案是不可能！见下图：

　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

　　　　　假设右侧新增的紫色部分是p[i]可以增加的部分，那么根据回文的性质，a 等于 d ，也就是说 id 的回文不仅仅是黑线，而是黑线 + 两条紫线，矛盾，所以假设不成立，故mp[i] = mx - i，不可以再增加一分。

 

　　　　　　（2）j 回文串全部在 id 的内部，如下图：

 　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　根据代码，此时mp[i] =mp[j]，那么p[i]还可以更大么？答案亦是不可能！见下图： 

　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　假设右侧新增的红色部分是p[i]可以增加的部分，那么根据回文的性质，a 等于 b ，也就是说 j 的回文应该再加上 a 和 b ，矛盾，所以假设不成立，故p[i] = p[j]，也不可以再增加一分。 

　　　　　（3）j 回文串左端正好与 id 的回文串左端重合，见下图：

　　　　　　　　　　　　　　　　

 

　　　　　　　　　　根据代码，此时p[i] = p[j]或p[i] = mx - i，并且p[i]还可以继续增加，所以需要

 　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　while (ma[i - mp[i]] == ma[i + mp[i]]) 

  　　　　　　　　　　　　　　  mp[i]++;

 

　　　　　　第三步：更新id，mx;

　　　　　　　若新计算的回文串右端点位置大于mx，要更新id和mx的值即：mx<mp[i]+i;更新id，mx;

 

　　　　　　第四步：遍历所有的mp[],算出最长回文子串.

　　　　　　　　　　性质：最长回文长度=mp[i]-1; mp[i]个'#',mp[i]-1个字符，原长2*mp[i]-1;