C6-1 最大子数组和
题目描述
给定一个数组a[0,...,n-1],求其最大子数组(长度>=1)和
输入描述
第一行一个整数n(1<=n<=5000)，然后依次输入n个整数（每个整数范围[-5000, 5000]）
输出描述
输出一个整数表示最大子数组和
样例输入
5 1 -1 1 1 -1
样例输出
2
思路;因为这道题让我们求和，那我们设置个count用于计算到目前为止的和的值，如果＞0继续，若＜0，则应当抛弃，否则，会影响以后的值；
1 #include <iostream> 2 #include <vector> 3 using namespace std; 4 5 int max_sum(const vector<int> &array); 6 7 int main(){ 8 int n; 9 cin>>n; 10 if(n<0||n>5000) return false; 11 vector<int>array(n); 12 for(int i=0;i<n;i++){ 13 cin>>array[i]; 14 if(array[i]<-5000||array[i]>5000) return false; 15 } 16 cout<<max_sum(array)<<endl; 17 return 0; 18 } 19 20 int max_sum(const vector<int> &array){ 21 int sum=0; 22 int count=0; 23 for(int i=0;i<array.size();i++){ 24 count+=array[i]; //将所输入的数组元素赋值给count计数 25 if(count>sum) //若此时count>sum则将count赋值给sum 26 sum=count; 27 if(count<0) 28 count=0; //若和为0，则将此时count置0； 29 } 30 return sum; 31 }
解决这道题方法还有很多的方法
法1：暴力枚举法
此种方法最简单，
记sum[i..j]为数组中第i个元素到第j个元素的和（其中0<=i<j<=n-1），通过遍历所有的组合之和，就能找到最大的一个和了。
伪代码如下：
int maxSubArray(int *A,int n) { int maxium = -1; //保存最大子数组之和 for i=0 to n-1 do sum = 0; //sum记录第i到j的元素之和 for j=i to n-1 do sum += A[j]; if sum>maxium do //更新最大值 maxium = sum; return maxium; }
此种方法的时间复杂度为O(n2)，显然不是一种很好的办法。
方法二：分支界定
这里再介绍一种更高效的算法，时间复杂度为O(nlogn)。这是个分治的思想，解决复杂问题我们经常使用的一种思维方法——分而治之。
而对于此题，我们把数组A[1..n]分成两个相等大小的块：A[1..n/2]和A[n/2+1..n]，最大的子数组只可能出现在三种情况：
A[1..n]的最大子数组和A[1..n/2]最大子数组相同；
A[1..n]的最大子数组和A[n/2+1..n]最大子数组相同；
A[1..n]的最大子数组跨过A[1..n/2]和A[n/2+1..n]
前两种情况的求法和整体的求法是一样的，因此递归求得。
第三种，我们可以采取的方法也比较简单，沿着第n/2向左搜索，直到左边界，找到最大的和maxleft，以及沿着第n/2+1向右搜索找到最大和maxright，那么总的最大和就是maxleft+maxright。
而数组A的最大子数组和就是这三种情况中最大的一个。
伪代码如下：
int maxSubArray(int *A,int l,int r) { if l<r do mid = (l+r)/2; ml = maxSubArray(A,l,mid); //分治 mr = maxSubArray(A,mid+1,r); for i=mid downto l do search maxleft; for i=mid+1 to r do search maxright; return max(ml,mr,maxleft+maxright); //归并 then //递归出口 return A[l]; }
方法三：动态规划
这算是一个经典的动态规划的题目了，如果不知道动态规划可以先不去理解这个名词。用通俗点的语言描述这个算法就是：
令cursum(i)表示数组下标以i为起点的最大连续下标最大的和，而maxsum(i)表示前i个元素的最大子数组之和。那么我们就可以推出下一个maxsum(i+1)应该为cursum(i+1)和maxsum(i)中选取一个最大值。递推式为：
cursum(i) = max{A[i],cursum(i-1)+A[i]};
maxsum(i) = max{maxsum(i-1),cursum(i+1)};
伪代码为：
int maxSubArray(int *A,int n) { cursum = A[0]; maxsum = A[0]; for i=1 to n-1 do /*当我们加上一个正数时，和会增加；当我们加上一个负数时，和会减少。如果当前得到的和是个负数，那么这个和在接下来的累加中应该抛弃并重新清零，不然的话这个负数将会减少接下来的和。*/ if cursum<0 do cursum = 0; cursum += A[i]; if cursum>maxsum do maxsum = cursum; return maxsum; }
这种算法时间复杂度只是O(n)，效果非常好！
#include <iostream> #include <iterator> #include <algorithm> #include <cstdlib> #include <ctime> using namespace std; const int INF=0x7fffffff; int max_sub_array(int arr[],int n,int &left,int &right) { int maxium=-INF; int sum; for(int i=0;i<n;i++){ sum=0; for(int j=i;j<n;j++){ sum+=arr[j]; if(sum>maxium){ maxium=sum; left=i; right=j; } } } return maxium; } int max_sub_array(int arr[],int l,int r,int &left,int &right) { if(l<r){ int mid=(l+r)/2; int ll,lr; int suml=max_sub_array(arr,l,mid,ll,lr); int rl,rr; int sumr=max_sub_array(arr,mid+1,r,rl,rr); int sum_both=0; int max_left=-INF; int ml,mr; for(int i=mid;i>=l;i--) { sum_both+=arr[i]; if(sum_both>max_left){ max_left=sum_both; ml=i; } } int max_right=-INF; sum_both=0; for(int i=mid+1;i<=r;i++) { sum_both+=arr[i]; if(sum_both>max_right){ max_right=sum_both; mr=i; } } sum_both=max_left+max_right; if(suml<sumr) { if(sumr<sum_both) { left=ml; right=mr; return sum_both; } else { left=rl; right=rr; return sumr; } } else{ if(suml<sum_both) { left=ml; right=mr; return sum_both; } else { left=ll; right=lr; return suml; } } } else { left=l; right=r; return arr[l]; } } int max_sub_array_(int arr[],int n,int& left,int&right) { int cursum=arr[0]; int maxsum=arr[0]; int pos=0; pos=0; for(int i=1;i<n;i++) { // if(cursum<0) // cursum=0; cursum+=arr[i]; if(cursum<arr[i]) { pos=i; cursum=arr[i]; } if(cursum>maxsum) { maxsum=cursum; left=pos; right=i; } } return maxsum; } void test1() { int arr[]={-2,5,3,-6,4,-8,6}; int len=sizeof(arr)/sizeof(arr[0]); int left,right; int sum; cout<<"arr:"; copy(arr,arr+len,ostream_iterator<int>(cout, " ")); cout<<endl; sum=max_sub_array(arr,len,left,right); cout<<"method1:("<<left<<","<<right<<") "; cout<<"sum="<<sum<<endl; sum=max_sub_array(arr,0,len-1,left,right); cout<<"method2:("<<left<<","<<right<<") "; cout<<"sum="<<sum<<endl; sum=max_sub_array(arr,len,left,right); cout<<"method3:("<<left<<","<<right<<") "; cout<<"sum="<<sum<<endl; } void test2() { const int LEN=10; int arr[LEN]; int sign[LEN]; srand(time(0)); for(int i=0;i<LEN;i++){ int val=rand()%1000; if(val%2==0) sign[i]=1; else sign[i]=-1; } for(int i=0;i<LEN;i++){ int val=rand()%100; arr[i]=val*sign[i]; } int left,right; int sum; int len=LEN; cout<<"arr:"; copy(arr,arr+len,ostream_iterator<int>(cout, " ")); cout<<endl; sum=max_sub_array(arr,len,left,right); cout<<"method1:("<<left<<","<<right<<") "; cout<<"sum="<<sum<<endl; sum=max_sub_array(arr,0,len-1,left,right); cout<<"method2:("<<left<<","<<right<<") "; cout<<"sum="<<sum<<endl; sum=max_sub_array(arr,len,left,right); cout<<"method3:("<<left<<","<<right<<") "; cout<<"sum="<<sum<<endl; } int main() { test2(); }
参考：http://www.cnblogs.com/xkfz007/archive/2012/05/17/2506299.html
