树状数组的区间加以及区间询问讲解

前置技能

　　基础树状数组。不会的话自己百度Orz。

　　要求掌握树状数组的以下操作：

• 熟悉树状数组原理以及用途。
• 单点修改，区间查询。
• 区间加，单点查询。

 

问题模型

　　树状数组实现区间加和区间查询。

实现

　　记

　　$A_i$为数列上面的第$i$个元素。

　　$delta_i=A_i-A_{i-1}, (1\leq i\leq n)$。

　　$exdel_i=delta_i\times i$

　　拓展公式：

　　$$A_i=\sum_{j=1}^{i}delta_j$$

　　推导区间加

　　$\Large Add(L,R,v)$

$$delta_L+=v$$

$$exdel_L+=v*L$$

$$delta_{R+1}-=v$$

$$exdel_{R+1}-=v*(R+1)$$

　　（好像没什么用啊……看看后面的询问推导）

　　推导区间询问

　　$\Large query(L,R)$

$$ans=\sum_{i=L}^{R}\sum_{j=1}^{i}delta_j\\=\sum_{i=1}^{L}(R-L+1)\times delta_i+\sum_{i=L+1}^{R}(R-L+1-(i-L))\times delta_i\\=\sum_{i=1}^{L}(R-L+1)\times delta_i+\sum_{i=L+1}^{R}(R+1-i)\times delta_i\\=\sum_{i=1}^{L}(R-L+1)\times delta_i+\sum_{i=L+1}^{R}(R+1)\times delta_i-\sum_{i=L+1}^{R}exdel_i\\=\sum_{i=1}^{R}(R+1)\times delta_i-\sum_{i=1}^{L}L\times delta_i-\sum_{i=L+1}^{R}exdel_i$$

 　　于是前缀和随便弄几下就好了。

拓展