LeetCode 寻找两个有序数组的中位数
给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2。
请你找出这两个有序数组的中位数,并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。
你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。
示例 1:
nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
则中位数是 2.0
示例 2:
nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5
题解:
假设我们要找第 7 小的数字。
我们比较两个数组的第 k/2 个数字,如果 k 是奇数,向下取整。也就是比较第 33 个数字,上边数组中的 44 和下边数组中的 33,如果哪个小,就表明该数组的前 k/2 个数字都不是第 k 小数字,所以可以排除。也就是 11,22,33 这三个数字不可能是第 77 小的数字,我们可以把它排除掉。将 13491349 和 4567891045678910 两个数组作为新的数组进行比较。
更一般的情况 A[1] ,A[2] ,A[3],A[k/2] ... ,B[1],B[2],B[3],B[k/2] ... ,如果 A[k/2]<B[k/2] ,那么A[1],A[2],A[3],A[k/2]都不可能是第 k 小的数字。
A 数组中比 A[k/2] 小的数有 k/2-1 个,B 数组中,B[k/2] 比 A[k/2] 小,假设 B[k/2] 前边的数字都比 A[k/2] 小,也只有 k/2-1 个,所以比 A[k/2] 小的数字最多有 k/1-1+k/2-1=k-2个,所以 A[k/2] 最多是第 k-1 小的数。而比 A[k/2] 小的数更不可能是第 k 小的数了,所以可以把它们排除。
橙色的部分表示已经去掉的数字。
由于我们已经排除掉了 3 个数字,就是这 3 个数字一定在最前边,所以在两个新数组中,我们只需要找第 7 - 3 = 4 小的数字就可以了,也就是 k = 4。此时两个数组,比较第 2 个数字,3 < 5,所以我们可以把小的那个数组中的 1 ,3 排除掉了。
我们又排除掉 2 个数字,所以现在找第 4 - 2 = 2 小的数字就可以了。此时比较两个数组中的第 k / 2 = 1 个数,4 == 4,怎么办呢?由于两个数相等,所以我们无论去掉哪个数组中的都行,因为去掉 1 个总会保留 1 个的,所以没有影响。为了统一,我们就假设 4 > 4 吧,所以此时将下边的 4 去掉。
由于又去掉 1 个数字,此时我们要找第 1 小的数字,所以只需判断两个数组中第一个数字哪个小就可以了,也就是 4。
所以第 7 小的数字是 4。
我们每次都是取 k/2 的数进行比较,有时候可能会遇到数组长度小于 k/2的时候。
此时 k / 2 等于 3,而上边的数组长度是 2,我们此时将箭头指向它的末尾就可以了。这样的话,由于 2 < 3,所以就会导致上边的数组 1,2 都被排除。造成下边的情况。
由于 2 个元素被排除,所以此时 k = 5,又由于上边的数组已经空了,我们只需要返回下边的数组的第 5 个数字就可以了。
从上边可以看到,无论是找第奇数个还是第偶数个数字,对我们的算法并没有影响,而且在算法进行中,k 的值都有可能从奇数变为偶数,最终都会变为 1 或者由于一个数组空了,直接返回结果。
所以我们采用递归的思路,为了防止数组长度小于 k/2,所以每次比较 min(k/2,len(数组) 对应的数字,把小的那个对应的数组的数字排除,将两个新数组进入递归,并且 k 要减去排除的数字的个数。递归出口就是当 k=1 或者其中一个数字长度是 0 了。
参考代码:
1 class Solution { 2 public: 3 int getKth(vector<int>&nums1,int start1,int end1,vector<int>&nums2,int start2,int end2, int k) 4 { 5 int len1=end1-start1+1; 6 int len2=end2-start2+1; 7 //让 len1 的长度小于 len2,这样就能保证如果有数组空了,一定是 len1 8 if(len1>len2) return getKth(nums2,start2,end2,nums1,start1,end1,k); 9 if(len1==0) return nums2[start2+k-1]; 10 if(k==1) return min(nums1[start1],nums2[start2]); 11 12 int i=start1+min(len1,k/2)-1; 13 int j=start2+min(len2,k/2)-1; 14 15 if(nums1[i]>nums2[j]) 16 return getKth(nums1,start1,end1,nums2,j+1,end2,k-(j-start2+1)); 17 else 18 return getKth(nums1,i+1,end1,nums2,start2,end2,k-(i-start1+1)); 19 } 20 21 double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) 22 { 23 int n = nums1.size(); 24 int m = nums2.size(); 25 int left=(n+m+1)/2; 26 int right=(n+m+2)/2; 27 return (getKth(nums1,0,n-1,nums2,0,m-1,left)+getKth(nums1,0,n-1,nums2,0,m-1,right))*0.5; 28 } 29 30 };