网络流之转换为对偶图
网络流之转换为对偶图
先来观察下面的这张图：
下面的这张却完全不行。
像这样任意两边的交点在顶点上的图我们称为平面图。
几条边围成一个区域，这个区域称为一个面。
对平面图，我们定义对偶图：
下图中黑色的是个平面图，红色的就是对偶图。其建立方法是，对每个面建一个点，只要有一条边是在两个面之间，我们就对这两个面对应的点连边（稍有些绕）。注意是有一条边就连线。
然后我们就得到萌萌哒的对偶图一张！
对偶图就有很多美妙的性质了。比如说，我们发现，对偶图的一条边就对应了一条割边。
既然如此的话，想想狼抓兔子，一条割边有一个容量，那么如果我们建它的对偶图，最短路就是最小割。
所以得出下面的重要定理：
对平面图来说，最大流 = 最小割 = 对偶图最短路
所以我们就可以稳一些跑出来狼抓兔子。
1001: [BeiJing2006]狼抓兔子
Time Limit: 15 Sec Memory Limit: 162 MBSubmit: 30078 Solved: 7908
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Description
现在小朋友们最喜欢的"喜羊羊与灰太狼",话说灰太狼抓羊不到，但抓兔子还是比较在行的，
而且现在的兔子还比较笨，它们只有两个窝，现在你做为狼王，面对下面这样一个网格的地形：
左上角点为(1,1),右下角点为(N,M)(上图中N=4,M=5).有以下三种类型的道路
1:(x,y)<==>(x+1,y)
2:(x,y)<==>(x,y+1)
3:(x,y)<==>(x+1,y+1)
道路上的权值表示这条路上最多能够通过的兔子数，道路是无向的. 左上角和右下角为兔子的两个窝，
开始时所有的兔子都聚集在左上角(1,1)的窝里，现在它们要跑到右下解(N,M)的窝中去，狼王开始伏击
这些兔子.当然为了保险起见，如果一条道路上最多通过的兔子数为K，狼王需要安排同样数量的K只狼，
才能完全封锁这条道路，你需要帮助狼王安排一个伏击方案，使得在将兔子一网打尽的前提下，参与的
狼的数量要最小。因为狼还要去找喜羊羊麻烦.
Input
第一行为N,M.表示网格的大小，N,M均小于等于1000.
接下来分三部分
第一部分共N行，每行M-1个数，表示横向道路的权值.
第二部分共N-1行，每行M个数，表示纵向道路的权值.
第三部分共N-1行，每行M-1个数，表示斜向道路的权值.
输入文件保证不超过10M
Output
输出一个整数，表示参与伏击的狼的最小数量.
Sample Input
3 4
5 6 4
4 3 1
7 5 3
5 6 7 8
8 7 6 5
5 5 5
6 6 6
5 6 4
4 3 1
7 5 3
5 6 7 8
8 7 6 5
5 5 5
6 6 6
Sample Output
14
HINT
2015.4.16新加数据一组，可能会卡掉从前可以过的程序。
Source
题目分析：
,每一个环中间都有一个点(类似于圆方树?) 然后每一条边会被相邻两个环中的点给穿插。最后我们要建立源点和汇点,让后让那些没有没有相邻环的连源汇点。
这就是题目所给图的对偶图；
只要求源点到汇点的最短路径即可；
参考代码：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 const int N=2000006,INF=0x3fffffff,E=N*3; 4 struct ARC { 5 int u, val, next; 6 inline void init(int a, int b, int c) { 7 u=a, val=b, next=c; 8 } 9 } arc[E]; 10 int head[N], tot, S, T, n, m, dis[N]; 11 bool vs[N]; 12 13 struct data{ 14 int u, dis; 15 data() {} 16 data(int a, int b) : u(a), dis(b) {} 17 bool operator < (const data &T) const { 18 return dis>T.dis; 19 } 20 }; 21 22 inline void add_arc(int s, int t, int val) 23 { 24 arc[tot].init(t, val, head[s]); 25 head[s]=tot++; 26 } 27 28 priority_queue<data> Q; 29 void Dijkstra() 30 { 31 fill(dis, dis+T+1, INF); 32 fill(vs, vs+T+1, 0); 33 while(!Q.empty()) Q.pop(); 34 dis[S]=0, Q.push(data(S, 0)); 35 for(int u; !Q.empty(); ) 36 { 37 u=Q.top().u, Q.pop(); 38 if(vs[u]) continue; 39 if(u==T) 40 { 41 printf("%d\n", dis[T]); 42 break; 43 } 44 vs[u]=1; 45 for(int e=head[u]; e!=-1; e=arc[e].next) { 46 int v=arc[e].u; 47 if(vs[v] || dis[u]+arc[e].val>=dis[v]) continue; 48 dis[v]=dis[u]+arc[e].val; 49 Q.push(data(v, dis[v])); 50 } 51 } 52 } 53 54 void read(int &x) { 55 char c; 56 while((c=getchar())<'0' || c>'9'); 57 x=c-'0'; 58 while((c=getchar())>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0'; 59 } 60 61 void Input() { 62 for(int i=0, id1, id2, a; i<=n-1; i++) 63 for(int j=1; j<=m-1; j++) { 64 read(a); 65 id1=((i-1)*(m-1)+j)*2-1; 66 id2=(i*(m-1)+j)*2; 67 if(i==0) id1=T; 68 else if(i==n-1) id2=S; 69 add_arc(id1,id2,a); 70 add_arc(id2,id1,a); 71 } 72 73 for(int i=1, id1, id2, a; i<=n-1; i++) 74 for(int j=0; j<m; j++) { 75 read(a); 76 id1=((i-1)*(m-1)+j)*2; 77 id2=((i-1)*(m-1)+j+1)*2-1; 78 if(j==0) id1=S; 79 else if(j==m-1) id2=T; 80 add_arc(id1, id2, a); 81 add_arc(id2, id1, a); 82 } 83 84 for(int i=1, id1, id2, a; i<=n-1; i++) 85 for(int j=1; j<=m-1; j++) { 86 read(a); 87 id1=((i-1)*(m-1)+j)*2; 88 id2=((i-1)*(m-1)+j)*2-1; 89 add_arc(id1, id2, a); 90 add_arc(id2, id1, a); 91 } 92 } 93 94 int main() { 95 read(n), read(m); 96 S=0, T=(n-1)*(m-1)*2+1; 97 fill(head, head+T+1, -1), tot=0; 98 if(n==1 || m==1) 99 { 100 if(n>m) swap(n, m); 101 int ans=INF; 102 for(int i=1, a; i<m; i++) 103 { 104 read(a); 105 if(ans>a) ans=a; 106 } 107 printf("%d\n", ans==INF?0:ans); 108 } 109 else Input(), Dijkstra(); 110 return 0; 111 }
