一道百度面试题---200元的组合方式有多少

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设计者：cslave
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设计时间：2012.7.6
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题目描述：

人民币有 1元 2元 5元 10元 20元 50 元 100元 这几种币值.

问:给定200元,求出有多少种币值组合方式. 币种可重复,比如,200张1元的算一种方式.

解法：
依次设 1元 2元 5元 10元 20元 50 元 100元张数为 x，y，z，m，n，p,q
则有
x+2y+5z+10m+20n+50p+100q=200 其中
0=<x<=200
0=<y=<100
0=<z=<40
0=<m=<20
0=<n=<10
0=<p=<4
0=<q=<2

可以采用for循环迭代输出的方案，但是太朴素。也可以采用
递归方案：

F（n）=F（n-1）+F（n-2）+F（n-5）+F（n-10）+F（n-20）+F（n-50）+F（n-100）

当然也可以采用自底向上的方案来输出，但是耗时都比较长

我们可以采用一种新的方案：

x+2y+5z+10m+20n+50p+100q=200 可以分治为

q=0; x+2y+5z+10m+20n+50p=200 等价于 2y+5z+10m+20n+50p<=200

q=1; x+2y+5z+10m+20n+50p=100 等价于 2y+5z+10m+20n+50p<=100

q=2: x+2y+5z+10m+20n+50p=0 只有一种选法

当q=0时

设10m+20n+50p=10k,则 2y+5z<=200-10k (0<=k<=20)

同时 2n+5p<=k;
所以
Sum=0;
for(k=0;k<=20;k++)
Sum=Count(2y+5z<=200-10k)* Count(2n+5p<=k);

 

当q=1时

设10m+20n+50p=10k,则 2y+5z<=100-10k (0<=k<=10)

同时 2n+5p<=k;
所以
Sum=0;
for(k=0;k<=10;k++)
Sum=Count(2y+5z<=100-10k)* Count(2n+5p<=k);

当q=2时

仅有一种方案。

Count来自于格点三角形公式，格点三角形公式是 S=E/2+I-1,
其中,E表示边界上格点数目,I表示内部的格点数目，S为格点三角形面积。
边界上格点数目为两个直角边的点数。
将格点三角形面积公式重写为
S+E/2=E/2+E/2+I-1 即为 I+E=S+E/2+1;

下面让我们想想 ，I+E为格点三角形的内部和边界顶点，他们是
满足2n+5p<=k条件的n和p的对应正整数解。

让我们通过公式计算 Count(2n+5p<=k)

对于k%10==0的情况。

E=8*M/10=4M/5 (列举2n+5p<=10想想就明白了)

S=(1/2)*(M/2)*(M/5)=M*M/20

所以I+E=S+1+E/2=M*M/20+1+2M/5

对于k%10!=0的情况 ,也就是k%10>0
2n+5p=10t+h （1 <=h <=9）。（t> =1）
当h为奇数时，p必为奇数 ,解的数目为不超过[(10t+h)/5]的所含奇数的数目

当h为偶数时，p必为偶数，解的数目为不超过[(10t+h)/5]的所含偶数的数目

[(10t+h)/5]值本身可能是2t或者2t+1；
当h=1，3时候 解的个数为t （考虑下 0 ，1，2，...，2t）

当h=2，4，5，6，7，8，9时，解的个数为t+1 （考虑下 0 ，1，2，...，2t，2t+1）

所以当h=1，2，3.。。。，9的时候，对应的解个数为
h 解个数
0 M*M/20+1+2M/5
1 t +M*M/20+1+2M/5
2 2t+1 +M*M/20+1+2M/5
3 3t+1 +M*M/20+1+2M/5
4 4t+2 +M*M/20+1+2M/5
5 5t+3 +M*M/20+1+2M/5
6 6t+4 +M*M/20+1+2M/5
7 7t+5 +M*M/20+1+2M/5
8 8t+6 +M*M/20+1+2M/5
9 9t+7 +M*M/20+1+2M/5
好了 到这里不解释了，写代码吧。

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#include "stdafx.h"
#include <iostream>
using namespace std;

int ComposeMoney(int Cycle)
{
    if(Cycle%100!=0)
        throw exception("Cycle Is not Timesof 100!\n");
    int Sum=0;
    int cycle=Cycle/10;
    int Para1,Para2;
    int Temp;
    int t,h,k;
    for(k=0;k<=cycle;k++)
    {
        Para1=Cycle-10*k;
        Para2=k;
        t=Para2/10;h=Para2%10;
        Temp=5*t*t+1+4*t;
        if(1<=h&&h<=2) Temp+=h*t+h-1;
        else if(h>=3)   Temp+=h*t+h-2;
        Sum+=Temp* (Para1*Para1/20+1+2*Para1/5);

    }
    return Sum;
}


void Test()
{
    try
    {
        int Sum=ComposeMoney(200)+ComposeMoney(100)+1;
        cout<<Sum<<endl;
    }
    catch(exception& e)
    {cout<<e.what();}
}


int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    Test();
    return 0;
}

如果有什么错误的地方，麻烦周知我，谢谢。