8贪婪算法

内容：

• 处理不能完成的任务：没有快速算法的问题（NP完全问题）
• 识别NP完全问题，以免浪费时间去寻找解决它们的快速算法
• 学习近似算法，使用它们可快速找到NP完全问题的近似解
• 学习贪婪策略—一种非常简单的问题解决策略

1.教室调度问题

假设有如下课程表，你希望将尽可能多的课程安排在某个教室

课程	开始时间	结束时间
美术	9:00	10:00
英语	9:30	10:30
数学	10:00	11:00
计算机	10:30	11:30
音乐	11:00	12:00

因为时间冲突，因此要选出时间不冲突的课程。 * 1.选出最早结束的课程，它就是要在这件教室上的第一堂课 * 2.选择第一堂课结束后最早开始的课程。 * 3.重复操作，选出符合要求的课程

贪婪算法：每步采取最优的做法。步步最优，全局最优。
虽然贪婪算法并非在任何情况下都有效，但它简单易行（优点）。

2.背包问题

假设一个小偷，背着可装35斤的背包，在商场伺机盗窃各种可装入背包的商品。

• 1.盗窃可装入背包的最贵商品
• 2.再盗窃还可装入背包的最贵物品，重复

音响	3000元	30斤
笔记本电脑	2000元	20磅
吉他	1500元	15斤

背包可装35斤，选择音响，就不能装其他物品，价值3000；选择笔记本和吉他，价值3500。 使用贪婪算法并不能得到最优解，但非常接近。

对于小偷来说，偷到东西的价值差不多就行，没必要追求最大价值。即有些情况下，完美是优秀的敌人。有时只要找到一个能够大致解决问题的算法，那么贪婪算法正好用上。

3.集合覆盖问题

假设一个广播节目，要让全部地区听到。为此需要在哪些广播台播出。一个广播台可能包含覆盖多个地区，因此力图在最少的广播台播出。由于可能的子集有2ⁿ个，因此运行时间为O(2²)。

3.1近似算法

在获得精确解需要的时间太长时，可使用近似算法。

• 1.选出这样一个广播台，即它覆盖了最多的未覆盖的州。即便这个广播台覆盖了一些已覆盖的州，也没有关系
• 2.重复第一步，直到覆盖了所有的州

判断近似算法优劣的标准如下：

• 速度有多快
• 得到的近似解与最优解的接近程度。

states_needed = set(["mt","wa","or","id","nv","ut","ca","az"])
stations = {
    "kone":set(["id","nv","ut"]),
    "ktwo":set(["wa","id","mt"]),
    "kthree":set(["or","nv","ca"]),
    "kfour":set(["nv","ut"]),
    "kfive":set(["ca","az"])
}
final_stations = set()
while states_needed:
    best_station = None
    states_covered = set()
    for station, state in stations.items():
        covered = states_needed & state
        if len(covered) > len(states_covered):
            best_station = station
            states_covered = covered
    states_needed -= states_covered
    final_stations.add(best_station)
print(final_stations)    #{'kthree', 'kfive', 'ktwo', 'kone'}

mt	wa	or	id	nv	ut	ca	az
			1	1	1
2	2		2
		3		3		3
				4	4
						5	5

预期：先选择唯一的，2、3、5，最后选择4。 使用近似算法得到的并非是最优解，但也够用。

4.NP完全问题

旅行商问题：旅行商前往5个城市，如何规划，使行程最短

集合问题：

集合1	集合2	集合3
kone ktwo kthree ...	kten keleven ...	khundred kthoursand ...

旅行商和集合覆盖的共同点：需要计算所有的解，并从中选出最小/最短的哪个。 NP完全问题：以难解著称的问题，如旅行商问题和集合覆盖问题。很多人都认为，根本不能编写出可快速解决这些问题的算法。 只要能够判断要解决的问题属于NP完全问题，然后使用近似算法即可。

4.1识别NP完全问题

1.元素较少时算法的运行速度非常快，但随着元素数量的增加，速度会变得非常慢。
2.设计所有组合的问题通常是NP完全问题。
3.不能将问题分成小问题，必须考虑各种可能的情况。这可能是NP完全问题。
4.如果问题设计序列（如旅行商问题中的城市序列）且难以解决，它可能是NP完全问题。
5.如果问题涉及集合（如广播台集合）且难以解决，它可能就是NP完全问题。
6.如果问题可转换为集合覆盖问题或旅行商问题，那它肯定是NP完全问题。

5.总结

• 贪婪算法寻找局部最优解，企图以这种方式获得全局最优解。
• 对于NP完全问题，还没有找到快速解决方案。
• 面临NP完全问题时，最佳的做法是使用近似算法。
• 贪婪算法易于实现、运行速度快，是不错的近似算法。