数论——欧拉函数

简单总结一下最近学习的欧拉函数

欧拉函数定义：在数论，对正整数n，欧拉函数是小于等于n的数中与n互质的数的数目，记作φ（n）。

1、φ（1） = 1；

2、n为质数， φ（n） = n-1;

3、 n是某个质数的幂次 φ（p^k） = p^k - p^k-1 = p^k*(1 – 1/p)

证：这是因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个，即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。

φ（8） = 23 - 22 = 4；

4、 n可以分解为两个互质数的积， φ（p1*p2） = φ（p1）*φ（p2）（p1, p2 为质数， 以下同，不在赘述）;

如 φ（56） = φ（7）*φ（8） = 4*6 = 24；

5、把n进行质因分解， 得到n = p1^a1*p2^a2*p3^a3*p4^a4……pk^ak

由（4）得 φ （n）= φ（p1^a1）*φ（p2^a2）*φ（p3^a3）*φ（p4^a4）……φ（pk^ak）

由（3）得 φ（n） = p1^a1*(1 - 1/p1)*p2^a2*(1-1/p2)*p3^a3*(1 – 1/p3)*……*pk^ak*(1 – 1/pk)

6、由5结果得求欧拉函数的基本公式

φ（n）= n* (1 - 1/p1)*(1-1/p2)* (1 – 1/p3)*……*(1 – 1/pk)

 

特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)

 

欧拉定理

a与n互质，a^φ（n）≡ 1 (mod n)

当n为质数时有费马小定理

a^p-1≡ 1 (mod p)  

 

欧拉定理的推广——有关的高次幂取模（指数循环节）

公式： a^x mod(c)=a^{(x mod phi(c) +phi(c))} mod(c)， (x>=phi(c))

 

欧拉函数代码

const int MAXN = 1e6;//打表的范围
int prime[MAXN+10], cnt = 0;
int a[MAXN+10];

void init(){//素数筛
    for(int i = 2; i <= MAXN; i++) a[i] = true;
    for(int i = 2; i <= MAXN; i++){
        if(a[i]){
            prime[++cnt] = i;
        }
        for(int j = 1; j <= cnt; j++){
            if(prime[j]*i > MAXN) break;
            a[prime[j]*i] = false;
            if(i%prime[j] == 0) break;
        }
    }
}

int Euler(int n){//欧拉函数
    int ans = n;
    for(int i = 1; i <= cnt && prime[i] <= n; i++){
        if(n%prime[i] == 0){
            while(n%prime[i] == 0){
                n /= prime[i];
            }
            ans = ans/prime[i]*(prime[i]-1);
        }
    }
    return ans;
}