图论基础

图论基础

图是什么？

图的定义

1. 图(graph)是一个二元组G=(V(G), E(G))。其中V(G)是非空集，称为点集(vertex set),对于V中的每个元素，我们称其为 顶点 (vertex) 或 节点 (node)，简称 点；E(G) 为 V(G) 各结点之间边的集合，称为 边集 (edge set)。
2. 存在一个结点$V$，可能含有多个前驱结点和后继结点。
3. 边长定义为边权，即顶点之间的距离
   
   图的分类

• 有向图——边具有指向性的图
• 无向图——边没有指向性的图
• 无权图
• 带权图(网)——图中的边加上表示某种含义的数组，数值称为边的权
• 连通图——任意两点之间都有路径连接的图
• 二分图
• ...
  连通:两顶点间有路可通
  连通分量:无向图中的极大连通子图

无向图的术语

• 两个顶点之间如果有边连接，那么就视为两个顶点相邻。
• 相邻顶点的序列称为路径。
• 起点和终点重合的路径叫做圈。
• 任意两点 之间都有路径连接的图叫做连通图。
• 顶点连接的边数叫做这个顶点的度。
  
• 没有圈的连通图叫做树$(tree)$,没有圈的非连通图叫做森林。一棵树的边数恰好等于顶点数-1
• 如果在树上选择一个顶点作为根$(root)$,就可以把根提到最上面，而离根越远的顶点越往下安排其位置。这样的树叫做有根树。
  

有向图的术语

入度—— 以该点为终点的边的数目
出度—— 以该顶点为起点的边的数目
度—— 等于该顶点的入度与出度之和

• 没有圈的有向图叫做$DAG$($Directed$ $Acyclic$ $Graph$).
  
  在DAG中我们可以给顶点标记一个先后顺序，对于每个顶点我们给它一个编号，第$i$号顶点叫做$v_i$。那么存在从顶点$v_i$到顶点$v_j$的边时就有$i<j$成立，这样的编号叫做拓扑序。
  
  如果把图中顶点按照拓扑序从左到右排列，那么所有的边都是从左指向右的。

图的存储

邻接矩阵(二维数组)

g[i][j]; //表示i点到j点的边权。

1. 无向图中
   只需要知道“顶点$i$和顶点$j$之间是否有边连着”这样的信息，因此如果顶点$i$和顶点$j$之间有边相连，那么g[i][j]和g[j][i]就设为$1$，否则设为$0$.
   

2. 在有向图中
   只需要知道“是否有从顶点$i$发出指向顶点$j$的边”这样的信息，因此如果顶点$i$有一条指向顶点$j$的边，那么g[i][j]就设为$1$，否则设为$0$。与无向图不同，并不需要满足g[i][j]=g[j][i].
   

3. 在带权图中
   g[i][j]表示的是顶点$i$到顶点$j$的边的权值。由于在边不存在的情况下，如果将g[i][j]设为$0$,就无法和权值为$0$的情况区分开来，因此选取适当的较大的常数$INF$（只要能和普通的权值区别开来就可以），然后令g[i][j]=INF就好。当然，在无向图中还要保持g[i][j]=g[j][i]。在一条边上有多种不同权值情况下，定义多个二维数组或者使用结构体就可以。
   

	存图方法
	//无向图:两遍都可以走，双向箭头 
	for(int i = 1; i <= m; i++){	//m是边的数量 
		int from, to, w;
		cin >> from >> to >> w;
		map[from][to] = w;
		map[to][from] = w;
	}

总结:邻接矩阵的优点: 方便度的计算（读入时就可以算）、方便判断两点是否有边及其权值、大小是n*n、占用的单元只与顶点有关。
缺点: 是寻找一个点的所有相连的边需要1-n循环，而且内存过大容易爆

邻接表

• vector
• 邻接表
• 伪邻接表(链式前向星)

//链式前向星写法
 
struct Edge {
	int to, w, next;
} edges[N];
 
int head[N], cnt;//cnt为当前边的编号
 
void add (int from, int to, int w) {
	edges[++cnt].w = w;//新增一条编号为cnt+1的边，边权为w
	edges[cnt].to = to;//该边的终点为to
	edges[cnt].next = head[from];//把下一条边，设置为当前起点的第一条边
	head[from] = cnt;//该边成为当前七点新的第一条边
}

图的DFS遍历

算法步骤:

1. 从某个节点开始，每次任选一个与它相邻的未访问节点访问下去
2. 直到当前节点的所有相邻节点都已经被访问过。
3. 回溯到第一个未被访问过的节点

图的BFS遍历

1. 用dis[]数组表示各点距离起点$S$的距离。dis[i]=-1表示$i$点还未被访问。用g[i][j]表示$i$点和$j$点之间是否有边。
2. 将dis[s]初始化为$0$，将其他点的dis初始化为$-1$。将$S$点入队

3.  while(队列非空)
    	从队首出队一个元素u
    		对于所有根u有边相连的点v:
    		if(dis[v]==-1)
    			dis[v] = dis[u] +1;
    			v入队 
    
    

判断是否为欧拉图

• 如果图G中的一个路径包括每个边恰好一次，则该路径称为欧拉路径(Euler path)
• 如果一个回路是欧拉路径，则称为欧拉回路(Euler circuit)
• 具有欧拉回路的图称为欧拉图(简称E图)。具有欧拉路径但不具有欧拉回路的图称为半欧拉图。

无向图存在欧拉回路的充要条件

• 一个无向图存在欧拉回路，当且仅当该图所有顶点度数都为偶数，且该图是连通图。

有向图存在欧拉回路的充要条件

• 一个有向图存在欧拉回路，所有顶点的入度等于出度且该图是连通图。

拓扑排序

概念

• 一个工程常被分为多个小的子工程，这些子工程被称为活动，在有向图中若以顶点表示活动，有向边表示活动之间的先后关系，这样的图简称为AOV网。在AOV网中为了更好地完成工程，必须满足活动之间先后关系，需要将各活动排一个先后次序即为拓扑排序

实现方法

1. 从有向图中选取一个没有前驱的顶点，并输出它。
2. 从有向图中删去此顶点以及所有以它为尾的弧。
3. 重复上述两步，直至图空，或者图不空但找不到无前驱的顶点为止。没有前驱——入度为零，删除顶点以及以它为尾的弧——弧头顶点的入度减1。

举例

• 根据算法思想:
• 找到的点的顺序依次为v6,v1,v5,v3,v2,v4
• 可以看到，拓扑排序可能有多解
• (注意一边输出当前点，一边更新其他点的入度)
  输入:

输入n,m表示n个顶点，m条边
m行，每行表示两个顶点x，y，表示有边从x到y
6 8
1 2
1 4
1 3
2 4
3 4
5 3
5 4
6 4
 

输出:

1
5
6
2
3
4

链式前向星:

#include<bits/stdc++.h>
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
 
using namespace std;
typedef long long LL;
 
int n, m;
struct ty {
	int t, next;
} edge[100010];
int head[1010];
int cnt = 0;
void addedge(int x, int y) {
	edge[++cnt].t = y;
	edge[cnt].next = head[x];
	head[x] = cnt;
}
 
int inc[1010];
queue<int> q;
void tuopu() {
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if (inc[i] == 0) {
			q.push(i);
		}
	}
	int tot = 0;
	while (!q.empty()) {
		int x = q.front();
		cout << x << " " << endl;
		q.pop();
		tot++;
		for (int i = head[x]; i != -1; i = edge[i].next) {
			inc[edge[i].t]--;
			if (inc[edge[i].t] == 0) q.push(edge[i].t);
		}
	}
	if (tot != n) cout << -1;
}
 
int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	memset(head, -1, sizeof(head));
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int x, y;
		scanf("%d%d", &x, &y);
		addedge(x, y);
		inc[y]++;
	}
	tuopu();
 
	return 0;
}
 

拓扑排序的使用

• 判断一个有向图中是否有环。无环的图所有点都能进行拓扑排序。

关键路径

• AOE网(Activity On Edge network),即边表示活动的网络，与AOV网相对应，它通常表示一个工程的计划或进度。

• AOE是一个带权的有向无环图，图中的:

  • 边:表示活动(子工程)
  • 边上的权:表示该活动的持续时间，即完成该活动所需要的时间
  • 顶点:表示事件，每个事件是活动之间的转接点，即表示它的所有入边活动到此完成，所有出边活动从此开始。其中有两个特殊的顶点(事件)，一个称作源点，它表示整个工程的开始，亦即最早活动的起点，显然它只有出边，没有入边；另一个称作汇点，它表示整个工程的结束，亦即最后活动的终点，显然它只有入边，没有出边。除了这两个顶点外，其余顶点都既有入边，也有出边，是入边活动和出边活动的转接点。

• AOE网中有些活动可以并行进行，所以完成整个工程的最短时间是从源点到汇点的最长路径长度，路径长度为路径上各边的权值之和。把从源点到汇点的最长路径长度称为关键路径。

• 对应一个AOE网，待研究的问题是:(1)整个工程至少需要多长时间完成？****(2)哪些活动是影响工程进度的关键？
  

• 假设开始点是$v_1$,从$v_1$到$v_i$的最长路径长度叫做事件$v_i$的最早发生时间,这个时间决定了所有$v_i$为尾的弧所表示的活动的最早开始时间。我们用$e(i)$表示活动$a_i$的最早开始时间。还可以定义一个活动的最迟开始时间$l(i)$，这是在不推迟整个工程的前提下，活动$a_i$最迟必须开始进行的时间。两者之差$l(i)-e(i)$意味着完成活动$a_i$的时间余量。我们把$l(i)=e(i)$的活动叫做关键活动。

• 关键路径上的所有活动都是关键活动，因此提前完成非关键活动并不能加快工程的进度。