斐波那契数列（二）
斐波那契数列在很多问题上得到了应用。下面通过一些具体的实例加以说明。
【例1】钢管切割
问题描述
给一根长度为n的钢管，问最多能切割成几段钢管，使得截成的钢管互不相等且均不能构成三角形。
输入
输入文件的第一行包含整数T（1≤T≤10） ，表示测试用例的数量。
每个测试用例包含一行，包括整数N（1≤N≤1018）表示钢管的长度。
输出
对于每个测试用例，输出一行，一个整数表示它可以切割成的最大段数。
输入样例
1
6
输出样例
3
（1）编程思路。
本题是斐波那契数列的典型应用。
下面先以长度为150的钢管切割为例进行说明。
由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就是存在两边之和不超过另一边。而要将钢管切割出的段数更多，则开始应尽可能切割出满足要求的长度最短的钢管，因此开始可以切割出一根长度为1和一根长度为2的两根钢管（切割出的钢管长度互不相同），第3根钢管的长度应该是3（为了使得切割的段数最大，因此要使剩下来的钢管尽可能长，因此每一根钢管总是前面的相邻2根钢管长度之和），之后依次为：1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各数之和为 142，与 150 相差 8，因此可以取最后一段钢管长度为 63，这时段数达到最大为 9。
在这个示例中，142是斐波那契数列的前项和，我们要把150超出142的部分加到最后的一个数上去，如果加到其他数上，就有3根钢管可以构成三角形了。
（2）源程序。
#include <stdio.h> int main() { long long f[110]={0,1,2},fsum[110]={0,1,3}; int i; for (i=3; i<100; i++) { f[i] = f[i-1] + f[i-2]; fsum[i] = fsum[i-1] + f[i]; } int t; scanf("%d",&t); while (t--) { long long n; scanf("%lld",&n); for (i=1; i<100; i++) { if (fsum[i] == n) { break; } else if (fsum[i]>n) { i--; break; } } printf("%d\n",i); } return 0; }
将上面的源程序提交给HDU题库 HDU 5620 KK's Steel （http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5620），可以Accepted。
【例2】三角形
问题描述
给定n根直棒，能否在这n根直棒中找出3根棒子组成一个三角形。
输入
输入有多个测试用例。
每个测试用例都以包含整数n的行开始（1≤n≤106），这表示直棒的数量，然后是n个正整数（小于231−1） 用空格隔开。
输出
每个用例输出“YES”或“NO”表示可以或不能用三根直棒组成一个三角形。
输入样例
4
1 2 3 4
输出样例
YES
（1）编程思路。
由例1可知，三角形的三边关系定理和斐波那契数列存在着一定的联系。由于斐波拉契数列级别增长很快，因此若n>=50，肯定可以找到3根直棒组成三角形。
如果不能组成三角形，输入数的个数 n< 50。将这n个数从小到大排序，排序后，再遍历这n个数，若存在相邻两个数的和大于之后的1个数，即存在a[i-2]+a[i-1]>a[i]，则这3根直棒可以组成三角形。
（2）源程序。
#include <stdio.h> int main() { int n; while (scanf("%d",&n)!=EOF) { int i,j; int flag = 0; if (n < 50) { int a[50]; for (i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]); for (i=0;i<n-1;i++) for (j=0;j<n-1-i;j++) if (a[j]>a[j+1]) { int tmp; tmp=a[j]; a[j]=a[j+1]; a[j+1]=tmp; } for (i = 0; i < n - 2; i++) if (a[i]+a[i+1]>a[i+2]) { flag = 1; break; } } else { int x; for (i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &x); flag = 1; } if (flag) printf("YES\n"); else printf("NO\n"); } return 0; }
将上面的源程序提交给HDU题库 HDU 6512 Triangle （http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6512），可以Accepted。
【例3】不包含相邻1的序列
问题描述
给定正整数n，确定在长度为n的0、1序列中不包含相邻1的序列的数量。例如，对于n＝3，答案是5（序列000、001、010、100、101满足要求，而011、110、111是不满足要求的）。
输入
第一行包含测试用例的数量。
对于每一个测试用例，在一行中单独给定一个小于45的正整数。
输出
每个测试用例的输出都以包含“Scenario #i：”的行开始，其中i是从1开始的测试用例数。然后输出一行，其中包含没有相邻1的n位序列个数。用空行终止方案的输出。
输入样例
2
3
1
输出样例
Scenario #1:
5
Scenario #2:
2
（1）编程思路。
设a[i]表示长度为i的0、1序列中不包含相邻1的序列的数量，在长度为 i 的序列后面再加上1位可以构成长度为 i+1 的序列。若后面添加0，直接添加在长度为i的序列后面即可，有a[i]种序列；若后面添加1，则前面只能为0，即在长度为i-1的合法序列后面添加“01”，有a[i-1]种序列。 因此，a[i+1]=a[i]+a[i-1]。也就是斐波那契数列。
（2）源程序。
#include <stdio.h> int main() { long long a[50]; a[1] = 2; a[2] = 3; int i; for (i=3; i<=45; i++) { a[i]=a[i-1]+a[i-2]; } int t,n; scanf("%d",&t); for (i=1;i<=t;i++) { scanf("%d",&n); printf("Scenario #%d:\n",i); printf("%lld\n\n",a[n]); } return 0; }
将上面的源程序提交给北大POJ 题库POJ 1953 World Cup Noise （http://poj.org/problem?id=1953），可以Accepted。
【例4】合并相邻的1
问题描述
给定一个仅包含“1”的字符串；可以将两个相邻的“1”合并为“2”，或将“1”保留在那里。这样，可能会得到很多不同的结果。例如，给定1111，可以得到1111、121、112、211、22。现在，你的工作是找到你可以得到的结果总数。
输入
第一行是数字n，表示测试用例的数量。接下来是n行，每行都有一个由“1”组成的字符串。序列的最大长度为200。
输出
输出包含n行，每行输出可以获得的结果数。
输入样例
3
1
11
11111
输出样例
1
2
8
（1）编程思路。
设a[i]表示由i个1组成的字符串可以获得的结果数。当字符串长度增加到 i+1 时，最后一个1不参与合并，就单独保留在那里，可以得到的结果数为a[i]；若最后1个1要参与合并，则只能与其前面的1个1合并，结果相当于在长度为i-1的字符串后面加了一个2，可以得到的结果数为a[i-1]。因此，a[i+1]=a[i]+a[i-1]。同样也就是斐波那契数列。但由于题目给定的n最大为200。结果超过了长整数能表示的范围，因此需要采用高精度计算。
（2）源程序。
#include <stdio.h> #include <string.h> #define MOD 100000000 struct BigNumber { int len; int num[205]; }; int main() { struct BigNumber f[205]; memset(f[1].num,0,sizeof(f[1].num)); memset(f[2].num,0,sizeof(f[2].num)); f[1].len=f[2].len=1; f[1].num[0]=1; f[2].num[0]=2; int i,j; for (i=3;i<=200;i++) { memset(f[i].num,0,sizeof(f[i].num)); f[i].len = f[i-1].len; int cf=0; for (j=0;j<f[i].len;j++) { int num=f[i-1].num[j]+f[i-2].num[j]+cf; f[i].num[j]=num%MOD; cf=num/MOD; } if (cf!=0) f[i].num[f[i].len++]=cf; } int t; scanf("%d",&t); while (t--) { char s[205]; scanf("%s",s); int n=strlen(s); printf("%d",f[n].num[f[n].len-1]); for (i=f[n].len-2;i>=0;i--) printf("%08d",f[n].num[i]); printf("\n"); } return 0; }
将上面的源程序提交给HDU题库 HDU 1865 1sting （http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1865），可以Accepted。
【例5】最大和
问题描述
给定一个由n个正整数构成的序列A，每次从序列中选取两个数相加后，将新数加入序列A中。问这样操作k次后，序列A中所有数的和最大为多少?
输入
输入包括多个测试用例。每个测试用例第一行包含两个整数n和k（2≤n≤100000，1≤k≤1000000000)，第二行包含n个元素ai（1≤ai≤100000），表示序列A。
输出
对于每个测试用例，输出序列A的最大总和（mod 10000007）。
输入样例
3 2
3 6 2
输出样例
35
（1）编程思路。
要使序列中所有整数的和最大，每次操作时要选序列当前最大和次大的数相加，然后加入序列中。
设序列当前最大数和次大数分别为a，b，则操作第1、2、3、4、5…次操作加入的数分别为a+b、2a+b、3a+2b、5a+3b、8a+5b…，可以推出第k次a和b的系数为fib(k+1)、fib(k)。
序列新添加的数之和为 a*(fib[2]+fib[3]+..fib[k+1]) + b*(fib[1]+fib[2]+..fib[k])。
根据 (fib[1]+fib[2]+..fib[k]) = fib[k+2]-1，用矩阵快速算出fib[k+2]后计算即可。
（2）源程序。
#include <stdio.h>
#define MODNUM 10000007
struct Matrix {
long long s11 , s12 , s21 , s22 ;
};
typedef struct Matrix matrix;
matrix f(matrix a,matrix b)
{
matrix p ;
p.s11 = (a.s11*b.s11 + a.s12*b.s21)%MODNUM;
p.s12 = (a.s11*b.s12 + a.s12*b.s22)%MODNUM;
p.s21 = (a.s21*b.s11 + a.s22*b.s21)%MODNUM;
p.s22 = (a.s21*b.s12 + a.s22*b.s22)%MODNUM;
return p ;
}
matrix quickpow(matrix p,long long n) // 采用递归的方法实现矩阵快速幂运算
{
matrix q ;
q.s11 = q.s22 = 1 ; // 初始化为单位矩阵
q.s12 = q.s21 = 0 ;
if (n == 0)
return q ;
q = quickpow(p,n/2);
q = f(q,q);
if (n%2)
q = f(q,p);
return q ;
}
int main()
{
long long k ;
int n,i;
while (scanf("%d%lld",&n,&k)!=EOF)
{
long long ans=0,a=0,b=0,x,i;
for (i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld",&x);
ans=(ans+x)%MODNUM;
if (a<=x)
{
b=a; a=x;
}
else if (b<x)
b=x;
}
matrix p ;
p.s11 = p.s12 = p.s21 = 1 ;
p.s22 = 0 ;
p = quickpow(p,k+2);
long long x1,x2,res;
x1=p.s11-1;
x2=p.s21-1;
res=(x1*a)%MODNUM+(x2*b)%MODNUM;
res=(res-a+MODNUM)%MODNUM;
ans=(ans+res)%MODNUM;
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
将上面的源程序提交给HDU题库 HDU 5171 GTY's birthday gift （http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5171），可以Accepted。
