C语言程序设计100例之（44）：分糖果
例44 分糖果
问题描述
十个小孩围坐一圈分糖果，开始时，老师随机分给每位小孩若干糖果。为了公平，现进行调整，调整规则：所有小孩同时把自己糖果的一半分给左边的小孩，调整分一半时如果哪位小孩的糖果数为一个奇数，向老师补要1块（设老师手中的糖果足以满足这些要求）。问经过多少次调整，大家的糖果数都一样？每人多少块？
输入格式
10个正整数，表示10个小孩初始糖果数。
输出格式
调整次数和每个小孩的糖果数。
输入样例
15 23 18 6 14 22 9 13 8 10
输出样例
After 15 times,all children have same number of sugar.
Every child has 20 sugars.
（1）编程思路。
这是一道典型的模拟题。我们用逐步求精的方法来分析这个问题的解决方法。
1）先写出程序的总体框架如下：
输入10个小孩的初始糖果数①；
While（10个小孩的糖果数不全相等② ）
{
要进行一次调整过程，调整次数加1；
糖的块数为奇数的小孩向老师补要一块③ ；
所有小孩同时把自己糖果的一半分给左边的小孩④ ；
}
输出结果信息
在这个总体框架中需要解决的4个问题我们用下划线标记出来了。
2）设定义一个整型数组a来保存10个小孩的糖果数，问题①就是需要输入10个数组元素的初始值，程序代码为：
for (i=0;i<10;i++)
cin>>a[i];
3）问题②需要判断10个小孩的糖果数是否相等，显然是一个操作序列，其判断结果是while循环的条件，因此将问题②抽象成一个函数AllEqual，该函数用来判断数组中所有元素的值是否都相等，如果都相等则返回1，否则返回0。其函数原型为：
int AllEqual(int x[]);
而为判断一个数组中所有元素的值是否全相等，最简单的办法为将数组中的第2个数至最后一个数与第1个数相比较，只要它们中有一个不相等，就返回0（不全相等），如果比较完后，没有返回0，则它们全相等，返回1。
程序描述为：
int AllEqual(int x[10])
{
int i;
for (i=1;i<10;i++)
if (x[i]!=x[0]) return 0;
return 1;
}
4）问题③可以用一个循环程序解决，对数组中的每个元素判断其奇偶性，如果为奇数，则将该元素值加1。程序代码为：
for (i=0;i<10;i++)
if (a[i]%2!=0) a[i]++;
我们将这个循环操作写成一个函数。函数定义如下：
void supply(int x[10])
{
int i;
for (i=0;i<10;i++)
if (x[i]%2!=0) x[i]++;
}
主函数中的调用语句为：
supply(a);
5）完成一次调整过程，所有小孩需要同时把自己糖果的一半分给左边的小孩，如下图1所示。
图1 一次调整过程示例图
由图看出，
当i=1~9时，有 a(i)= (a(i)+a(i-1))/2
i=0时， a(0)=(a(0)+a(9))/2
因此，很容易地想到可以写成如下的代码段：
a[0]=a[0]/2+a[9]/2;
for (i=1;i<9;i++)
a[i]=a[i]/2+a[i-1]/2;
这样写是错误的，为什么呢？因为先修改a[1]，当计算a[2]时，用到的a[1]已经被修改了。
应该写成：
temp=a[9];
for (i=9;i>0;i--)
a[i]=a[i]/2+a[i-1]/2;
a[0]=a[0]/2+temp/2;
问题④我们同样将它写成一个函数，函数定义为：
void exchange(int x[10])
{
int temp,i;
temp=x[9];
for (i=9;i>0;i--)
x[i]=x[i]/2+x[i-1]/2;
x[0]=x[0]/2+temp/2;
}
至此，可以写出完整的源程序。
（2）源程序。
#include <stdio.h>
int AllEqual(int x[]);
void exchange(int x[]);
void supply(int x[]);
int main()
{
int a[10],i,count=0;
for (i=0;i<10;i++)
scanf("%d",&a[i]);
while (AllEqual(a)!=1)
{
count++;
supply(a);
exchange(a);
}
printf("After %d times,all children have same number of sugar.\n",count);
printf("Every child has %d sugars.\n",a[0]);
return 0;
}
int AllEqual(int x[10])
{
int i;
for (i=1;i<10;i++)
if (x[i]!=x[0]) return 0;
return 1;
}
void exchange(int x[10])
{
int temp,i;
temp=x[9];
for (i=9;i>0;i--)
x[i]=x[i]/2+x[i-1]/2;
x[0]=x[0]/2+temp/2;
}
void supply(int x[10])
{
int i;
for (i=0;i<10;i++)
if (x[i]%2!=0) x[i]++;
}
习题44
44-1 小A的糖果
本题选自洛谷题库 （https://www.luogu.org/problem/P3817）
题目描述
小A有N个糖果盒，第i个盒中有a[i]颗糖果。
小A每次可以从其中一盒糖果中吃掉一颗，他想知道，要让任意两个相邻的盒子中加起来都只有x颗或以下的糖果，至少得吃掉几颗糖。
输入格式
输入包括多组测试用例。每组用例包括两行输入数据。
第一行输入N和x。
第二行N个整数，为a[i]。
输出格式
每组测试用例输出一行，该行为至少要吃掉的糖果数量。
输入样例
3 3
2 2 2
6 1
1 6 1 2 0 4
5 9
3 1 4 1 5
输出样例
1
11
0
（1）编程思路。
要让任意两个相邻的盒子中加起来都只有x颗或以下的糖果，可以把这几个糖果盒成对来讨论。先从第1个和第2个糖果盒开始；如果第1个糖果盒的数量就超过x了，当然至少要把它吃到剩下x个；然后如果相邻两个盒子中每个盒子糖果数都没有超过x，但加起来超过x了，怎么处理呢？ 首先第1个糖果盒是只有一个分组的（和第2个）， 而第2个糖果盒却有两个分组（和第1个或和第3个）； 所以如果吃掉第一个糖果盒里的，只会减少一个分组的量，而如果吃掉第2个糖果盒里的，可以减少2个分组的量。所以要尽量吃掉第2个盒里的糖果。处理好第1个分组（即第1个和第2个糖果盒的分组）后，来看第2个分组（即第2个和第3个糖果盒的分组），因为第1个分组已经被处理好了，所以以后可以不管它，然后问题又变成了前一个问题。以此类推就可以求得结果。
（2）源程序。
#include <stdio.h>
int main()
{
int n,x;
scanf("%d%d",&n,&x);
int a[200001];
int i;
for (i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
long long ans=0;
if (a[0]>x)
{
ans+=1ll*(a[0]-x);
a[0]=x;
}
for (i=1;i<n;i++)
{
if (a[i-1]+a[i]>x)
{
ans+=1ll*(a[i-1]+a[i]-x);
a[i]=x-a[i-1];
}
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
44-2 均分糖果
题目描述
有N个小朋友做成一排，编号分别为 1,2,…,N，每个小朋友有 ai个糖果。糖果总数为N的倍数。为了公平，现在需要进行调整，使得每位小朋友的糖果数均相等。调整方法是：编号为1的小朋友只能将糖果传递给编号为2的小朋友；在编号为N的小朋友，只能把糖果传递给编号为N-1的小朋友；其他小朋友手上的糖果，可以传递到相邻左边或右边的小朋友手上。
现在要求找出一种调整方法，用最少的传递次数使每位小朋友手上的糖果数都一样。
例如，N=4，4个小朋友手里的糖果数分别为：9 8 17 6，传递3次可达到目的：
3号小朋友将手里的糖果给4颗给4号小朋友（9，8，13，10），3号小朋友再将手里的糖果给3颗给2号小朋友（9，11，10，10），2号小朋友将手里的糖果给1颗给1号小朋友（10，10，10，100）。每个小朋友手里均有10颗糖果。
输入
两行
第一行为：N（N个小朋友， 1≤N≤100）
第二行为：A1,A2, … ,An（每位小朋友手里的糖果数，1≤Ai ≤10000）
输出
一行：即所有小朋友手里糖果数均相等时的最少传递次数。
输入样例
4
9 8 17 6
输出样例
3
（1）编程思路。
设n个小朋友的平均糖果数为aver。
第1位小朋友手里的糖果数与平均数的差值（a[1]-aver）只能与第2个小朋友传递，若多余平均值（即a[1]-aver>0），则将多余的糖果（a[1]-aver）传递给第2个小朋友；若小于平均值（即a[1]-aver<0），则需要第2个小朋友传递aver-a[1]颗糖果给他。传递后，第2位小朋友的糖果数为 a[2]+a[1]-aver，传递次数均加1。若a[1]正好等于aver，则不用传递，传递次数不变。
第一个小朋友手里的糖果数达到平均值后，可以不用管第1个小朋友了，因为他已经达到目标，再参与传递只会造成浪费。这样，第2个小朋友相当是第1个小朋友了，如此类推，直到剩下最后一个小朋友。
在处理过程中，某个小朋友手里的糖果数变成负数也没关系，其后的小朋友一定会补给他的。例如，有3个小朋友，手里的糖果数分别为：1 1 7，从左到右处理过程如下：
（1，1，7）→（3，-1，7）→（3，3，3）。具体的传递过程可以为：3号小朋友将手里的糖果给4颗给2号小朋友（1，5，3），2号小朋友再将手里的糖果给2颗给1号小朋友（3，3，3）。每个小朋友手里均有3颗糖果。由于题目只需求出最少的传递次数，并不要求给出具体的传递过程，所以从左到右处理，即使中间状态出现负数，不会对结果造成影响。
（2）源程序。
#include <stdio.h>
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
int a[105];
int i,sum=0;
for (i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
sum+=a[i];
}
int aver=sum/n;
int ans=0;
for (i=1;i<=n;i++)
if ((a[i]-aver)!=0)
{
a[i+1]+=a[i]-aver;
ans++;
}
printf("%d",ans);
return 0;
}
44-3 糖果传递
题目描述
有n个小朋友坐成一圈，每人有ai个糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一个糖果代价为1。
输入
小朋友个数 n，下面n行ai。
输出
求使所有人获得均等糖果的最小代价。
输入样例
4
1
2
5
4
输出样例
4
（1）编程思路。
设编号为i的小朋友初始有a[i]颗糖，每个小朋友的糖果数量相同，即为平均数ave。
X[i]表示第i个小朋友给第i-1个小朋友x[i]颗糖，若x[i]<0，表示第i-1个小朋友给了第i个小朋友x[i]颗糖，特别的，x[1]表示1号小朋友给n号小朋友x[1]颗糖。
因此，最后的答案就是ans=|x[1]| + |x[2]| + |x[3]| + …+ |x[n]|。
对于第1个小朋友，他给了第n个小朋友x[1]颗糖，还剩a[1]-x[1]颗糖；但因为第2个小朋友给了他x[2]颗糖，所以最后还剩a[1]-x[1]+x[2]颗糖。根据题意，最后的糖果数量等于ave，由此可得：a[1]-x[1]+x[2]=ave。
同理，对于第2个小朋友，有a[2]-x[2]+x[3]=ave
……
对于第n个小朋友，有a[n]-x[n]+x[1]=ave。
最终，可以得到n个方程，一共有n个变量，但是因为从前n-1个方程可以推导出最后一个方程，所以实际上只有n-1个方程是有用的。
可以用x[1]表示出其他的x[i]。
对于第1个小朋友，a[1]-x[1]+x[2]=ave -> x[2]=ave-a[1]+x[1]= x[1]-S[1] （设s[1]=a[1]-ave，下面类似）
对于第2个小朋友，a[2]-x[2]+x[3]=ave ->x[3]=ave-a[2]+x[2]=2ave-a[1]-a[2]+x[1]=x[1]-s[2]
（s[2]=a[1]+a[2]-2ave=s[1]+a[2]-ave）
对于第3个小朋友，a[3]-x[3]+x[4]=ave -> x[4]=ave-a[3]+x[3]=3ave-a[1]-a[2]-a[3]+x[1]
=x[1]-s[3] （s[3]=a[1]+a[2]+a[3]-3ave=s[2]+a[3]-ave）
……
要是ans的值尽可能小，就要x[i]的绝对值之和尽量小，即
|x[1]| + |x[1]-s[1]| + |x[1]-s[2]| + …+ |x[1]-s[n-1]|要尽量小。
|x[1]-s[i]|的几何意义是数轴上的点X[1]到s[i]的距离，所以问题变成了：给定数轴上的n个点，找出一个到它们的距离之和尽量小的点，而这个点就是这些数中的中位数。即x[1]取中位数即可。
（2）源程序。
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
long long a[1000001],s[1000001];
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
int i;
long long sum=0;
for (i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld",&a[i]);
sum+=a[i];
}
long long aver=sum/n;
s[1] = a[1]-aver;
for (i=2;i<=n;i++)
s[i] = a[i]+s[i-1]-aver;
sort(s+1,s+n+1);
long long ans=0;
for (i=1;i<=n/2;i++)
ans+= s[n+1-i]-s[i];
printf("%lld",ans);
return 0;
}
