C语言程序设计100例之（40）：最大公约数问题
例40 最大公约数问题
题目描述
已知正整数a0、a1、b0、b1，设某未知正整数 x 满足：
1． x和a0的最大公约数是a1；
2． x和b0的最小公倍数是b1。
现在要求出满足条件的正整数x。这样的x 并不唯一，甚至可能不存在。例如，若
a0=41，a1=1，b0=96，b1=288，则x可以是9，18，36，72，144，288，共有6个。
请编程求解满足条件的 x 的个数。
输入
第一行为一个正整数 n，表示有 n 组输入数据。接下来的n 行，每行一组输入数据，为四个正整数a0，a1，b0，b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证 a0能被 a1整除，b1能被 b0整除。
输出
共 n 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。
对于每组数据：若不存在这样的 x，请输出 0，若存在这样的 x，请输出满足条件的 x 的个数。
输入样例
2
41 1 96 288
95 1 37 1776
输出样例
6
2
（1）编程思路。
显然，若x存在，x一定是b1的因子。因此，可以对b1的因子（1~sqrt(b1)）进行穷举，对每个x，判断其是否满足两个条件，若满足，则计数；同时若另一个因子b1/x也满足条件，同样计数。
（2）源程序。
#include <stdio.h>
int gcd(int a,int b)
{
int r=a%b;
while (r!=0)
{
a=b; b=r; r=a%b;
}
return b;
}
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
while(n--)
{
int a0,a1,b0,b1;
scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1);
int ans=0;
int x;
for (x=1;x*x<=b1;x++) // 穷举b1的因子
{
if (b1%x==0)
{
if (x%a1==0 && gcd(x,a0)==a1 && x/gcd(x,b0)*b0==b1) ans++;
int y=b1/x; // b1的另一个因子
if (x==y) continue;
if (y%a1==0 && gcd(y,a0)==a1 && y/gcd(y,b0)*b0==b1) ans++;
}
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
习题40
40-1 循环的数字
本题选自洛谷题库 （https://www.luogu.org/problem/P1611）
题目描述
两个不同的正整数（n，m）是循环的，当且仅当能通过将n末端的几个数字移到它的首端而不改变移动的数字的顺序并使整个数字变成m。举个例子， (12345，34512) 就是一对循环的数字，因为能把12345中末尾的345移到12前面，从而得到34512。注意，为了成为一对循环的数字，n和m位数必须相同。无论n 或m都没有前置的0。
现在给定正整数A和B（1≤A,B≤2×106），并保证A和B位数相同且均没有前置0，求存在多少循环的正整数对 (n,m)，使得A≤n≤m≤B ？
输入
输入包含1 行，有两个用空格隔开的正整数 A和B。
输出
输出一个正整数x，表示共有x 组循环的正整数对(n,m)，使得A≤n≤m≤B。
输入样例
1111 2222
输出样例
287
（1）编程思路。
对n进行穷举，范围为a≤n≤b。
一个整数n，设其位数为k，可以用表达式(n%10)*10k-1+n/10求出其一个循环数。
例如，设n=12345，则(12345%10)*10000+(12345/10)=51234；
(51234%10)*10000+(51234/10)=45123，…。
（2）源程序。
#include <stdio.h>
int main()
{
int a,b;
scanf("%d%d",&a,&b);
int p[7]={1,10,100,1000,10000,100000,1000000};
int ans=0;
int len=0, t=a;
while (t!=0)
{
len++;
t/=10;
}
int n,m;
for (n=a;n<=b;n++) // 枚举n
{
m=(n%10)*p[len-1]+n/10;
while (n!=m) // 若n==m，则m枚举完毕
{
if (n<m && m<=b)
ans++;
m=(m%10)*p[len-1]+m/10;
}
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
40-2 5个砝码
问题描述
用天平称重时，我们希望用尽可能少的砝码组合称出尽可能多的重量。
如果只有5个砝码，重量分别是1，3，9，27，81。则它们可以组合称出1到121之间任意整数重量（砝码允许放在左右两个盘中）。
本题目要求编程实现：对用户给定的重量，给出砝码组合方案。
输入
输入包含多组测试用例。每个测试用例为1行，一个整数n，其范围为1~121，表示用户要称的重量。
输出
对给定的重量，输出砝码组合方案，要求输出的组合总是大数在前小数在后。
输入样例
5
19
输出样例
9-3-1
27-9+1
（1）编程思路1。
砝码只有5个，且每次称重时，这5个砝码中的每一个只能出现0次或者1次，且砝码要么在物体盘，要么在砝码盘，故可做如下约定：
若砝码放在物体盘，约定其出现-1次；
若砝码放在砝码盘，约定其出现1次；
若称重时不需要该砝码，约定其出现0次。
设5个砝码在每次称重中出现的次数分别为x1、x2、x3、x4、x5，则这5个数每个只有-1、0、1这三种取值。对这243种情况进行穷举，看其组合是否符合称重要求即可。
（2）源程序1。
#include <stdio.h>
int main()
{
int v[6]={0,81,27,9,3,1};
int n;
while (scanf("%d",&n)!=EOF)
{
int x[6],flag;
flag=0;
for (x[1]=-1;x[1]<=1 && !flag; x[1]++)
for (x[2]=-1;x[2]<=1 && !flag; x[2]++)
for (x[3]=-1;x[3]<=1 && !flag; x[3]++)
for (x[4]=-1;x[4]<=1 && !flag; x[4]++)
for (x[5]=-1;x[5]<=1 && !flag;x[5]++)
if (81*x[1]+27*x[2]+9*x[3]+3*x[4]+x[5]==n)
{
int i;
for (i=1;i<=5;i++)
{
if (x[i]>0)
{
if (flag==0) printf("%d",v[i]);
else printf("+%d",v[i]);
flag=1;
}
else if (x[i]<0) printf("-%d",v[i]);
}
printf("\n");
}
}
return 0;
}
（3）编程思路2。
实际上本题不用穷举可以直接计算出来。
1、3、9、27、81正好是一个三进制五位数各位上的权值，1+3+9+27+81=121，最大能够称出121的物体来，但是要称重n，如何组合呢？
由于可以把砝码加在天平的物体盘中，因此，放在物体盘中的砝码不是要加在称出的重量上面，而是要从中减去的数。例如，5=9-3-1、6=9-3、7=9+1-3等等。
为了达到这个目的，设所用的三进制数码不是通常的0、1、2，而是-1、0、1。即2可以写成3-1，将其转化成-1这个数字。为了简便，把-1写成i，以后只要在三进制中碰到2这个数字，就把它改写成1i（即3-1=2）。例如，三进制中的2102这个数，可以用下面的方法改写成1i11i。
2102 = 2000 + 100 + 2 = 1i000 +100 + 1i = 1i000 +11i = 1i11i
来看几个实际重量的称重情况。
例如，为了称出14克，先将14化成普通三进制112，再进行改写，112=100+10+1i=100+2i=100+20+i = 100 +1i0 +i =100 +1ii = 2ii =1iii。这就是说，把27这块砝码放进砝码盘，而把9、3、1三块砝码放进称物盘中，就可以称出14克出来（27-9-3-1=14）。
再看怎样称出26克来，26化成普通三进制222，进行改写，222=1i00+1i0+1i=1i00+10i=100i。这就是说，把27这块砝码放进砝码盘，而把1这块砝码放进物体盘中，就可以称出26克出来（27-1=26）。
由此，可以看出用五块砝码能称出121以下所有整数重量的物体。
（4）源程序2。
#include <stdio.h>
int main()
{
int v[6]={1,3,9,27,81};
int n;
while (scanf("%d",&n)!=EOF)
{
int x[6]={0},i,k=0;
while (n!=0)
{
x[k++]=n%3;
n=n/3;
}
for (i=0;i<k;i++)
{
if (x[i]==3)
{
x[i]=0; x[i+1]++;
}
else if (x[i]==2)
{
x[i]=-1; x[i+1]++;
}
}
if (x[k]!=0) k++;
printf("%d",v[k-1]);
for (i=k-2;i>=0;i--)
{
if (x[i]>0) printf("+%d",v[i]);
else if (x[i]<0) printf("-%d",v[i]);
}
printf("\n");
}
return 0;
}
40-3 聊天音量
问题描述
约翰的农场上有N头奶牛（1≤N≤105），第i 头奶牛的位置为 xi（0≤xi≤109 ）。
奶牛很健谈，每头奶牛都和其他N−1 头奶牛聊天。第i头奶牛和第j头奶牛聊天时，音量为 |xi-xj|。
请您求出所有奶牛聊天音量的总和。
输入
第一行一个整数N。
接下来N 行，每行一个整数 xi。
输出
输出总音量。保证答案在 64 位带符号整数的表示范围内。
输入样例
5
1
5
3
2
4
输出样例
40
（1）编程思路1。
直接枚举计算每头牛与其他位置的牛的聊天音量和。
（2）源程序1。
#include <stdio.h>
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
long long x[100001];
int i,j;
for (i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld",&x[i]);
long long ans=0;
for (i=1;i<n;i++)
for (j=i+1;j<=n;j++)
{
ans+=x[i]>x[j]?x[i]-x[j]:x[j]-x[i];
}
printf("%lld\n",ans * 2);
return 0;
}
这个程序提交后，测试点Subtask #0（N≤104）可以过，但测试点Subtask #1全部超时。
（3）编程思路2。
为了减少计算量，将x升序排列。
定义数组s[100001]，其中s[i]表示位置i的牛和位置比其小的所有牛的聊天的音量的和，则有
S[1]=0
S[2]=x[2]-x[1]
S[3]=x[3]-x[1]+x[3]-x[2]=2*(x[3]-x[2])+(x[2]-x[1]) =2*(x[3]-x[2])+s[2]
S[4]=x[4]-x[1]+x[4]-x[2]+x[4]-x[3]=3*(x[4]-x[3])+(x[3]-x[2])+(x[3]-x[1]) =3*(x[4]-x[3])+s[3]
……
由此得到递推式： S[i]=(i-1)*(x[i]-x[i-1])+s[i-1]
（4）源程序2。
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
long long x[100001],s[100001]={0};
int i,j;
for (i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld",&x[i]);
sort(x+1,x+n+1);
long long ans=0;
for (i=2;i<=n;i++)
{
s[i]=(i-1)*(x[i]-x[i-1])+ s[i-1];
ans+=s[i];
}
printf("%lld\n",ans * 2);
return 0;
}
