JavaScript图形实例：再谈曲线方程
在“JavaScript图形实例：曲线方程”一文中，我们给出了15个曲线方程绘制图形的实例。在本文中，我们继续讨论一下曲线方程。在本文中，我们讨论的方法时，先给出一个绘制特定图案的曲线方程，然后将方程中的一些取值参数化，然后看看这些参数取不同值时会绘制出怎样的图形，从而通过试探加猜测的方式找出一些绘制精美曲线图案的曲线方程。
1．四叶花瓣线
四叶花瓣线的笛卡尔坐标方程式设定为：
x=r*cos(2θ)*sin(θ)
y=r* sin(2θ)*cos(θ) （0≤θ≤2π）
编写如下的HTML代码。
<!DOCTYPE html>
<head>
<title>四叶花瓣线</title>
<script type="text/javascript">
function draw(id)
{
var canvas=document.getElementById(id);
if (canvas==null)
return false;
var context=canvas.getContext('2d');
context.fillStyle="#EEEEFF";
context.fillRect(0,0,300,300);
context.strokeStyle="red";
context.lineWidth=2;
context.save();
context.translate(150,150);
var r=120;
context.beginPath();
for (theta=0;theta<=2*Math.PI;theta+=Math.PI/100)
{
var x = r*Math.cos(2*theta)*Math.sin(theta);
var y = r*Math.cos(2*theta)*Math.cos(theta);
if (theta==0)
context.moveTo(x,y);
else
context.lineTo(x,y);
}
context.stroke();
context.restore();
}
</script>
</head>
<body onload="draw('myCanvas');">
<canvas id="myCanvas" width="300" height="300"></canvas>
</body>
</html>
将上述HTML代码保存到一个html文本文件中，再在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在画布中绘制出四叶花瓣线图案，如图1所示。
图1 4叶花瓣线
下面将四叶花瓣线的笛卡尔坐标方程式参数化为：
x=r*cos(nθ)*sin(θ)
y=r* sin(nθ)*cos(θ) （0≤θ≤2π）
编写程序，在画布中绘制出n=1~10时的图案。编写的HTML文件内容如下。
<!DOCTYPE html>
<head>
<title>四叶花瓣线方程参数化</title>
<script type="text/javascript">
function draw(id)
{
var canvas=document.getElementById(id);
if (canvas==null)
return false;
var context=canvas.getContext('2d');
context.fillStyle="#EEEEFF";
context.fillRect(0,0,510,210);
context.strokeStyle="red";
context.lineWidth=2;
n=0;
r=45;
for (py=50;py<=150;py+=100)
for (px=50;px<=450;px+=100)
{
n++;
context.beginPath();
for (theta=0;theta<=2*Math.PI;theta+=Math.PI/100)
{
var x = r*Math.cos(n*theta)*Math.sin(theta)+px;
var y = r*Math.cos(n*theta)*Math.cos(theta)+py;
if (theta==0)
context.moveTo(x,y);
else
context.lineTo(x,y);
}
context.stroke();
}
}
</script>
</head>
<body onload="draw('myCanvas');">
<canvas id="myCanvas" width="510" height="210"></canvas>
</body>
</html>
将上述HTML代码保存到一个html文本文件中，再在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在画布中绘制出如图2所示花瓣线图案。
图2 花瓣线图案
图2中的10个图案从上到下，从左往右对应着N取值为1~10时的情况。由图2可知，当N为奇数时，花卉线为N瓣；当N为偶数时，花瓣线为2*N瓣。
能否给定N就绘制N瓣花呢？
将坐标方程修改如下：
x = r*(1/2+1/2*sin(nθ))*cos(θ)
y = r*(1/2+1/2*sin(nθ))*sin(θ) （0≤θ≤2π）
编写HTML文件内容如下。
<!DOCTYPE html>
<head>
<title>N叶花瓣线方程参数化</title>
<script type="text/javascript">
function draw(id)
{
var canvas=document.getElementById(id);
if (canvas==null)
return false;
var context=canvas.getContext('2d');
context.fillStyle="#EEEEFF";
context.fillRect(0,0,510,210);
context.strokeStyle="red";
context.lineWidth=2;
n=0;
r=45;
for (py=50;py<=150;py+=100)
for (px=50;px<=450;px+=100)
{
n++;
context.beginPath();
for (theta=0;theta<=2*Math.PI;theta+=Math.PI/100)
{
var x = r*(1/2+1/2*Math.sin(n*theta))*Math.cos(theta)+px;
var y = r*(1/2+1/2*Math.sin(n*theta))*Math.sin(theta)+py;
if (theta==0)
context.moveTo(x,y);
else
context.lineTo(x,y);
}
context.stroke();
}
}
</script>
</head>
<body onload="draw('myCanvas');">
<canvas id="myCanvas" width="510" height="210"></canvas>
</body>
</html>
将上述HTML代码保存到一个html文本文件中，再在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在画布中绘制出如图3所示的N（N为1~10）叶花瓣线图案。
图3 N叶花瓣线图案
我们还可以将四叶花瓣线的笛卡尔坐标方程式参数化为：
x=r*(1/5*sin(n*p*θ)+sin(n*θ))*cos(θ)
y=r*(1/5*sin(n*p*θ)+sin(n*θ))*sin(θ) （0≤θ≤2π）
编写如下的HTML文件。
<!DOCTYPE html>
<head>
<title>可设置参数的N瓣花卉图</title>
<script type="text/javascript">
function draw(id)
{
var canvas=document.getElementById(id);
if (canvas==null)
return false;
var context=canvas.getContext('2d');
context.fillStyle="#EEEEFF";
context.fillRect(0,0,300,300);
context.strokeStyle="red";
context.lineWidth=2;
context.beginPath();
var r=100;
var n=eval(document.myForm.petalNum.value);
if (n%2==0 && n%4!=0)
{
alert("花瓣数如果是偶数，必须是4的倍数！");
return;
}
if (n%2==0) n=n/2;
var p=eval(document.myForm.shape.value);
for (theta=0;theta<=2*Math.PI;theta+=Math.PI/180)
{
x=150+r*(1/5*Math.sin(n*p*theta)+Math.sin(n*theta))*Math.cos(theta);
y=150+r*(1/5*Math.sin(n*p*theta)+Math.sin(n*theta))*Math.sin(theta);
if (theta==0)
context.moveTo(x,y);
else
context.lineTo(x,y);
}
context.stroke();
}
</script>
</head>
<body>
<form name="myForm">
花瓣数<input type=number name="petalNum" value=4 size=3><br>
花形：<input type=number name="shape" value=1 size=3>
<input type=button value="确定" onClick="draw('myCanvas');">
</form><br>
<canvas id="myCanvas" width="300" height="300"></canvas>
</body>
</html>
在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在画布中绘制出如图4所示的花卉线图案。
图4 可设置参数的N瓣花卉图
由图4可以看出，由于参数方程中和一个正弦P次波进行了合成，因此花卉的花瓣形状会发生改变。
2．花型图案
根据参数方程：
x=r*(sin(n*0.5*θ)/3+sin(n*θ))*cos(2*θ)
y=r*(sin(n*0.5*θ)/3+sin(n*θ))*sin(2*θ) （0≤θ≤2π）
编写的HTML文件内容如下。
<!DOCTYPE html>
<head>
<title>花型图案</title>
<script type="text/javascript">
function draw(id)
{
var canvas=document.getElementById(id);
if (canvas==null)
return false;
var context=canvas.getContext('2d');
context.fillStyle="#EEEEFF";
context.fillRect(0,0,500,210);
context.strokeStyle="red";
context.lineWidth=1;
context.beginPath();
n=0;
b=35;
for (py=50;py<=150;py+=100)
for (px=50;px<=450;px+=100)
{
n++;
for (theta=0;theta<=2*Math.PI;theta+=Math.PI/128)
{
r=b/3*Math.sin(n*0.5*theta)+b*Math.sin(n*theta);
x=px+r*Math.cos(2*theta);
y=py+r*Math.sin(2*theta);
if (theta==0)
{
context.moveTo(x,y);
bx=x; by=y;
}
else
context.lineTo(x,y);
}
context.lineTo(bx,by);
context.stroke();
}
}
</script>
</head>
<body onload="draw('myCanvas');">
<canvas id="myCanvas" width="500" height="210"></canvas>
</body>
</html>
将上述HTML代码保存到一个html文本文件中，再在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以在画布中绘制出N=1~10的10种花型图案，如图5所示。
图5 花型图案1
先将上面代码中的语句“x=px+r*Math.cos(2*theta);”和“y=py+r*Math.sin(2*theta);”中的“2*theta”均修改为“4*theta”，则在画布中绘制出如图6所示的图案；若再将语句“r=b/3*Math.sin(n*0.5*theta)+b*Math.sin(n*theta);”中的“n*0.5*theta”修改为“n*theta”，则在画布中绘制出如图7所示的图案。
图6 花型图案2
图7 花型图案3
在这30个图案中，有你喜欢的吗？
3．曲线图案1
根据参数方程：
x=r*sin(n*θ)*cos(5*θ)
y=r*sin((n+k)*θ)*sin(5*θ) （0≤θ≤2π）
编写的HTML文件内容如下。
<!DOCTYPE html>
<head>
<title>曲线图案1</title>
<script type="text/javascript">
function draw(id)
{
var canvas=document.getElementById(id);
if (canvas==null)
return false;
var context=canvas.getContext('2d');
context.fillStyle="#EEEEFF";
context.fillRect(0,0,500,500);
context.strokeStyle="red";
context.lineWidth=1;
context.beginPath();
n=0;
r=45;
for (py=50;py<=450;py+=100)
{
n=n+2;
k=0;
for (px=50;px<=450;px+=100)
{
k++;
for (theta=0;theta<=2*Math.PI;theta+=Math.PI/64)
{
x=px+r*Math.sin(n*theta)*Math.cos(5*theta);
y=py+r*Math.sin((k+n)*theta)*Math.sin(5*theta);
if (theta==0)
{
context.moveTo(x,y);
bx=x; by=y;
}
else
context.lineTo(x,y);
}
context.lineTo(bx,by);
context.stroke();
}
}
}
</script>
</head>
<body onload="draw('myCanvas');">
<canvas id="myCanvas" width="500" height="500"></canvas>
</body>
</html>
将上述HTML代码保存到一个html文本文件中，再在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在画布中绘制出的曲线图案1-1，如图8所示。
在图8中绘制了5行5列共25个曲线图案。其中，第1行是参数方程中n取值为2，k取值依次为1,2,3,4,5的5个图案；第2行是参数方程中n取值为4，k取值依次为1,2,3,4,5的5个图案；……；第5行是参数方程中n取值为10，k取值依次为1,2,3,4,5的5个图案。
图8 曲线图案1-1
绘制图8程序中，求x和y坐标的语句中，均有“5*theta”，这里“5”作为倍数（不妨设为参数p）也可以修改。例如，修改两语句中的“5*theta”为“theta”，则在画布中绘制出如图9所示的曲线图案1-2。修改两语句中的“5*theta”为“2*theta”，则在画布中绘制出如图10所示的曲线图案1-3。
图9 曲线图案1-2
图10 曲线图案1-3
再如，直接修改绘制图8程序代码中的语句“var n=0;”为“var n=1；”，其余部分不变，则在画布中绘制出如图11所示的曲线图案4。这些图案是N分别取3,5,7,9,11，k分别取1~5，p取5时所对应的曲线图案。
图11 曲线图案1-4
对照图8、9、10、11，通过修改n、k和p，你会找到你喜欢的图案吗？
4．曲线图案2
修改曲线图案1中的参数方程为：
x= r*sin((n+k)*θ)*cos(p*θ)
y= r*sin(n*θ)*sin(p*θ) （0≤θ≤2π）
编写的HTML文件内容如下。
<!DOCTYPE html>
<head>
<title>曲线图案2</title>
<script type="text/javascript">
function draw(id)
{
var canvas=document.getElementById(id);
if (canvas==null)
return false;
var context=canvas.getContext('2d');
context.fillStyle="#EEEEFF";
context.fillRect(0,0,500,500);
context.fillStyle="blue";
context.strokeStyle="red";
context.lineWidth=1;
context.beginPath();
n=0;
r=45;
p=1;
for (py=50;py<=450;py+=100)
{
n=n+1; k=0;
for (px=50;px<=450;px+=100)
{
k++;
for (theta=0;theta<=2*Math.PI;theta+=Math.PI/64)
{
x=px+r*Math.sin((k+n)*theta)*Math.cos(p*theta);
y=py+r*Math.sin(n*theta)*Math.sin(p*theta);
if (theta==0)
{
context.moveTo(x,y);
bx=x; by=y;
}
else
context.lineTo(x,y);
}
context.lineTo(bx,by);
context.stroke();
}
}
}
</script>
</head>
<body onload="draw('myCanvas');">
<canvas id="myCanvas" width="500" height="500"></canvas>
</body>
</html>
将上述HTML代码保存到一个html文本文件中，再在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在画布中绘制出的曲线图案2-1，如图12所示。
在图12中绘制了5行5列共25个曲线图案。其中，第i行第j列的曲线图案对应参数值n=i，k=j。
图12 曲线图案2-1
直接修改绘制图12程序代码中的语句“p=1;”为“p=4；”，其余部分不变，则在画布中绘制出如图13所示的曲线图案2-2。
图13 曲线图案2-2
