C语言程序设计100例之（14）：丑数

例14   丑数

问题描述

丑数是其质因子只可能是2，3或5的数。前10个丑数分别为1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12。输入一个正整数n，求第n个丑数。

输入格式

每行为一个正整数n (n <= 1500)，输入n=0结束。

输出格式

每行输出一个整数，表示求得的第n个丑数。

输入样例

1

2

50

0

输出样例

1

2

243

         （1）编程思路。

        根据丑数的定义，丑数从小到大排列的序列中的一个数应该是其前面某个数乘以2、3或者5的结果。因此，可以定义一个数组num[1501]来顺序保存序列中的丑数，数组里面的每一个元素的值是前面的某个元素值乘以2、3或者5得到。

        问题的关键是怎样确保数组里面的各元素是按值的大小依次生成的。

        假设数组中已经有若干个序列中的元素，排好序后存在数组中。把序列中现有的最大的数记做M。由于序列中的下一个数肯定是前面某一个数乘以2、3或者5的结果。首先考虑把已有的每个数乘以2。在乘以2的时候，能得到若干个结果小于或等于M的。由于数组中的元素是按照顺序生成的，小于或者等于M的数肯定已经在数组中了，不需再次考虑；还会得到若干个大于M的结果，但只需要第一个大于M的结果，因为数组中的元素是按值从小到大顺序生成的，其他更大的结果可以以后再说，记下得到的第一个乘以2后大于M的数M2。同样，把已有的每一个数乘以3和5，记下得到的第一个大于M的结果M3和M5。那么，序列中下一个数应该是M2、M3和M5三个数的最小者。

        事实上，上面所说的把数组中已有的每个数分别都乘以2、3和5，是不需要的，因为已有的数是按顺序存在数组中的。对乘以2而言，肯定存在某一个数T2，排在它之前的每一个数乘以2得到的结果都会小于已有最大的数，在它之后的每一个数乘以2得到的结果都会太大。因此，只需要记下这个数的位置P2，同时每次生成一个新的序列中的数的时候，去更新这个P2。对乘以3和5而言，存在着同样的P3和P5。

        定义变量index保存当前待生成的数在序列中的序号，显然，已生成的序列中的最大元素为Num[curIndex-1]。

        定义3个指针变量int  *p2,*p3,*p5;分别指向数组中的3个元素，排在所指元素之前的每一个数乘以2（或3、或5）得到的结果都会小于已有最大的数num[index-1]，在所指元素之后的每一个数乘以2（或3、或5）得到的结果都会太大。

        初始时，num[1] = 1、index =2、p2 = p3 = p5 = &num[1]。

        生成第index个元素的方法为：

         if (*p2 * 2<*p3 * 3)  min = *p2 * 2;

         else              min= *p3 * 3;

         if (min> *p5 * 5)    min=*p5 * 5;

         num[index] = min;

        第index个元素生成后，需要对指针p2、p3和p5进行更新，更新方法为：

        if(num[index]==*p2*2)   p2++;

        if(num[index]==*p3*3)   p3++;

        if(num[index]==*p5*5)   p5++;

        （2）源程序。

#include <stdio.h>

#include <string.h>

int main()

{

    int num[1501],index,min,n;

    int *p2,*p3,*p5;

    p2=p3=p5=&num[1];

    num[1]=1;

    for  (index=2;index<=1500;index++)

    {

         if (*p2 * 2<*p3 * 3) min = *p2 * 2;

        else  min= *p3 * 3;

        if (min> *p5 * 5) min=*p5 * 5;

        num[index] = min;

        if(num[index]==*p2*2) p2++;

        if(num[index]==*p3*3) p3++;

        if(num[index]==*p5*5) p5++;

    }

    while(scanf("%d",&n) && n!=0)

    {

         printf("%d\n",num[n]);

    }

    return 0;

}

习题14

14-1  Hamming Problem

        本题选自北大POJ 题库 （http://poj.org/problem?id=2545）

Description

For each three prime numbers p1, p2 and p3, let's define Hamming sequence Hi(p1, p2, p3), i=1, ... as containing in increasing order all the natural numbers whose only prime divisors are p1, p2 or p3.

For example, H(2, 3, 5) = 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, ...

So H5(2, 3, 5)=6.

Input

In the single line of input file there are space-separated integers p1 p2 p3 i.

Output

The output file must contain the single integer - Hi(p1, p2, p3). All numbers in input and output are less than 10^18.

Sample Input

7 13 19 100

Sample Output

26590291

        （1）编程思路。

        弄明白了例14的编程思想，本题就简单了，无非是将例14中的质数2，3、5参数化为p1、p2和p3而已。

         （2）源程序。

#include <stdio.h>

int main()

{

         long long p1,p2,p3,H[100005];

         int n,i,a1,a2,a3;

         while(scanf("%lld%lld%lld%d",&p1,&p2,&p3,&n)!=EOF)

         {

                   H[0] = 1;

                   a1=a2=a3=0;

                   for (i = 1;i<=n;i++)

                   {

                            H[i] = p1*H[a1]<p2*H[a2]?p1*H[a1]:p2*H[a2];

                            if (H[i]>p3*H[a3]) H[i]=p3*H[a3];

                            if(H[i]==p1*H[a1])  a1++;

                            if(H[i]==p2*H[a2])  a2++;

                            if(H[i]==p3*H[a3])  a3++;

                   }

                   printf("%lld\n",H[n]);

         }

    return 0;

} 

14-2  丑数 Humble Numbers

        本题选自洛谷题库 （https://www.luogu.org/problem/ P2723）

题目描述

对于一给定的素数集合 S = {p1, p2, ..., pK}，考虑一个正整数集合，该集合中任一元素的质因数全部属于S。这个正整数集合包括，p1、p1*p2、p1*p1、p1*p2*p3...(还有其它)。该集合被称为S集合的“丑数集合”。注意：我们认为1不是一个丑数。

将丑数集合中每个数从小到大排列，每个丑数都是素数集合中的数的乘积，第N个“丑数”就是在能由素数集合中的数相乘得来的（包括它本身）第n小的数。

你的工作是对于输入的集合S去寻找“丑数集合”中的第N个“丑数”。

输入格式

第 1 行: 二个被空格分开的整数:K 和 N，1<= K<=100 ，1<= N<=100,000。

第 2 行: K 个被空格分开的整数:集合S的元素。

输出格式

单独的一行，输出对于输入的S的第N个丑数。所有输出答案可以用longint(32位整数)存储。

输入样例

4 19

2 3 5 7

输出样例

27

        （1）编程思路。

        本题在习题14-1的基础上更进一步，可以指定多个质数，这些质数来自集合S。因此在习题14-1的基础上，用数组p[101]来代替p1、p2和p3，采用循环处理即可。具体参见源程序。

        （2）源程序。

#include <stdio.h>

int main()

{

         int p[101],a[101],H[100005];

         int k,n,i,j;

         scanf("%d%d",&k,&n);

    H[0] = 1;

    for (i=1;i<=k;i++)

    {

        scanf("%d",&p[i]);

        a[i]=0;

    }

    for (i = 1;i<=n;i++)

     {

                   H[i] = p[1]*H[a[1]];

                   for (j=2;j<=k;j++)

                         if (H[i]>p[j]*H[a[j]]) H[i]=p[j]*H[a[j]];

                    for (j=1;j<=k;j++)

                        if(H[i]==p[j]*H[a[j]])  a[j]++;

     }

    printf("%d\n",H[n]);

    return 0;

}

14-3  集合S

问题描述

一个集合S有如下元素：1是集合S的元素；若x是集合S的元素，则2x+1，3x+1也是集合S的元素。将集合S的元素按从小到大排列后，问第N个元素是多少？

输入格式

输入包含多个数据，每个数据为一个正整数N (1 <= N <= 10000000)。.

输出格式

对每个N，在单独一行输出集合S中第N个元素。

输入样例

100

254

输出样例

418

1461

        （1）编程思路。

        这道习题和例14的解题思路是完全一样的。两个指针p2和p3从0开始起头并进，一个表示 x2+1，另一个表示x3+1，哪个小前进哪个，如果两个相等就都前进。这样就可以产生出递增的不重复的序列。

        定义数组int num[10000001]保存产生的这个序列的前10000000项，这样输入n后，直接输出数组元素num[n]即可。

       （2）源程序。

#include <stdio.h>

int num[10000001];

int main()

{

        int p2,p3,i,min,n;

        num[1]=1;

         p2=p3=1;

         i=1;

         while(i<10000000)

         {

                min=2*num[p2]+1;

                if (min>3*num[p3]+1) min=3*num[p3]+1;

                num[++i]=min;

               if(num[i]==2*num[p2]+1)  p2++;

               if(num[i]==3*num[p3]+1)  p3++;

         }

         while (scanf("%d",&n)!=EOF)

         {

                printf("%d\n",num[n]);

         }

    return 0;

}