C语言程序设计100例之(3): Cantor表
例3 Cantor表
题目描述
现代数学的著名证明之一是Georg Cantor证明了有理数是可枚举的。他是用下面这一张表来证明这一命题的:
1/1 1/2 1/3 1/4 ……
2/1 2/2 2/3 ……
3/1 3/2 ……
4/1 ……
……
现以z字型方法给上表的每项编号。方法为:第一项是1/1,然后是1/2、2/1、3/1、2/2、1/3、1/4、2/3……。
输入格式
整数N(1≤N≤10000000)
输出格式
表中的第N项
输入样例
7
输出样例
1/4
(1)编程思路1。
可以把上面的数表右转45度,成一金字塔形状,如下所示:
1/1
2/1 1/2
3/1 2/2 1/3
4/1 3/2 2/3 1/4
…… …… …… ……
该金字塔第1行有1个数,第2行有2个数,…,第i行有i个数。并且第i行上的i个分数的分子从i~1,分母从1~i,即第1个分数为i/1,最后一个分数为1/i。
为输出数表中的第N项,先需计算这一项在第几行。设第N项在x行,由于前x-1行共有1+2+3+…+(x-1)项,前x行有1+2+…+x项,因此有:
可以用一个循环计算第n项所在的行数,如下:
for (i=1; i*(i+1)/2<n; i++) ;
循环退出后,i*(i+1)/2刚好大于或等于n,因此,i就是第n项所在的行。
第n项在第i行中属于第几项又可以计算出来,公式为:
即n减去前i-1行中的全部项数。
由于是以z字型方法给数表的每项编号,因此当行号为奇数时,编号从左往右进行;当行号为偶数时,编号从右往左进行。
这样,当i为奇数时,第i行的第k项为(i+1-k)/(k);当i为偶数时,第i行的第k项为(k)/(i+1-k)。
(2)源程序1。
#include <stdio.h>
int main()
{
int i,k,n;
scanf("%d",&n);
for (i=1; i*(i+1)/2<n; i++) ;
k=n-(i*(i-1)/2);
if (i%2!=0)
printf("%d/%d\n",i+1-k,k);
else
printf("%d/%d\n",k,i+1-k);
return 0;
}
(3)编程思路2。
通过循环的方式直接模拟求出第N个数应该位于第row行第s列。
(4)源程序2。
#include <stdio.h>
int main()
{
int n,s,row;
scanf("%d",&n);
row=1;
s=1;
while (s<n)
{
row++;
s+=row;
}
s=n-(s-row);
if (row%2==1)
printf("%d/%d\n",(row-s)+1,s);
else
printf("%d/%d\n",s,(row-s)+1);
return 0;
}
习题3
3-1 金币
本题选自洛谷题库 (https://www.luogu.org/problem/P2669)
题目描述
国王将金币作为工资,发放给忠诚的骑士。第一天,骑士收到一枚金币;之后两天(第二天和第三天),每天收到两枚金币;之后三天(第四、五、六天),每天收到三枚金币;之后四天(第七、八、九、十天),每天收到四枚金币……;这种工资发放模式会一直这样延续下去:当连续N天每天收到N枚金币后,骑士会在之后的连续N+1天里,每天收到N+1枚金币。
请计算在前K天里,骑士一共获得了多少金币。
输入格式
一个正整数K,表示发放金币的天数。
输出格式
一个正整数,即骑士收到的金币数。
输入样例#1
6
输出样例#1
14
输入样例#2
1000
输出样例#2
29820
说明/提示
【输入输出样例 1 说明】
骑士第一天收到一枚金币;第二天和第三天,每天收到两枚金币;第四、五、六天,每天收到三枚金币。因此一共收到 1+2+2+3+3+3=14 枚金币。
(1)编程思路1。
为计算在前N天里,骑士一共获得了多少金币。需要确定第N天发几枚金币。设第N天发x枚金币,由于发x-1枚金币可发1+2+3+…+(x-1)天,发x枚金币可发1+2+…+x天,因此有:
可以用一个循环计算第n天发的金币数,如下:
for (i=1; i*(i+1)/2<n; i++) ;
循环退出后,i*(i+1)/2刚好大于或等于n,因此,i就是第n天发的金币数。1~i-1枚金币一定发满了相应的天数,即每天1枚金币发了1天,每天2枚金币发了2天,…,每天i-1枚金币发了i-1天,先用循环累积每天发1~i-1枚金币共发了多少,再加上每天发i枚金币发的数目即可得到答案。
(2)源程序1。
#include <stdio.h>
int main()
{
int n,m,k,s,i;
scanf("%d",&k);
for (n=1; n*(n+1)/2<k; n++);
n--;
m=(1+n)*n/2;
for (s=0,i=1;i<=n;i++)
s+=i*i;
if (k-m>0)
s+=(k-m)*(n+1);
printf("%d\n",s);
return 0;
}
(3)编程思路2。
直接模拟发金币过程。用一个二重循环完成,外循环控制发的天数,循环体中用内循环控制k枚金币连发k天。
(4)源程序2。
#include <stdio.h>
int main()
{
int n,k=1,i=1,j,sum=0;
scanf("%d",&n);
while(i<=n) // 一直循环下去,直到
{
for(j=1;j<=k;j++) // 连给k天
{
sum=sum+k; // 加上今天获得的钱
i++; // 总天数增加
if(i>n)
{
break;
}
}
k++; // 连给天数增加
}
printf("%d\n",sum);
return 0;
}
3-2 盐水的故事
Problem Description
挂盐水的时候,如果滴起来有规律,先是滴一滴,停一下;然后滴二滴,停一下;再滴三滴,停一下...,现在有一个问题:这瓶盐水一共有VUL毫升,每一滴是D毫升,每一滴的速度是一秒(假设最后一滴不到D毫升,则花费的时间也算一秒),停一下的时间也是一秒这瓶水什么时候能挂完呢?
Input
输入数据包含多个测试实例,每个实例占一行,由VUL和D组成,其中 0<D<VUL<5000。
Output
对于每组测试数据,请输出挂完盐水需要的时间,每个实例的输出占一行。
Sample Input
10 1
Sample Output
13
(1)编程思路。
先计算vul毫升盐水需要滴多少滴滴玩。显然,滴数N=(int)(vul/d); ,若最后一滴不到d毫升,花费的时间也算一秒,因此要注意滴数达到精度的要求,可进行如下校正:
if (vul-N*d>0.00001) N++;
为计算挂完盐水需要的时间,需要确定中间停顿的次数。设滴玩N滴盐水需要滴x次,由于前x-1次可滴下1+2+3+…+(x-1)滴盐水,前x次可滴下1+2+…+x滴盐水,因此有:
可以用一个循环计算滴玩N滴盐水需要的次数,如下:
for (i=1; i*(i+1)/2<n; i++) ;
循环退出后,i*(i+1)/2刚好大于或等于n,因此,i就是滴玩N滴盐水需要的次数。每两次之间会停顿,因此停顿时间为i-1秒,加上N滴用时N秒即得所求答案。
(2)源程序。
#include <stdio.h>
int main()
{
double vul,d;
int s,n;
while (scanf("%lf%lf",&vul,&d)!=EOF)
{
s=(int)(vul/d);
if (vul-s*d>0.00001) s++;
for (n=1; n*(n+1)/2<s; n++);
n--;
printf("%d\n",s+n);
}
return 0;
}
3-3 Peter的烟
题目描述
Peter 有n根烟,他每吸完一根烟就把烟蒂保存起来,k(k>1)个烟蒂可以换一个新的烟,那么 Peter 最终能吸到多少根烟呢?
输入格式
测试数据包含多组,每组测试数据一行包括两个整数n,k(1<n,k≤108 )。
输出格式
对于每组测试数据,输出一行包括一个整数表示最终烟的根数。
输入样例
4 3
10 3
100 5
输出样例
5
14
124
(1)编程思路。
设变量sum代表Peter可抽烟的总根数,n代表烟蒂数,因为Peter有n根烟,因此初始时,sum=n(可抽n根烟),烟蒂数为n(n根烟产生n个烟蒂)。
之后不断用烟蒂换烟抽,由于k个烟蒂换一根烟,因此不断执行
sum =sum+ n/k; (n个烟蒂换抽n/k根烟)
n = n/k + n%k; (n/k根烟产生n/k个烟蒂,加上前面换烟后多余的不足换1根烟的n%k个烟蒂为新的烟蒂数)
重复这个过程直到剩下的烟蒂数不足以换根烟。
(2)源程序。
#include <stdio.h>
int main()
{
int n,k,sum;
while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF)
{
sum = n;
while(n >= k)
{
sum += n/k;
n = n/k + n%k;
}
printf("%d\n",sum);
}
return 0;
}