C语言程序设计100例之（1）：鸡兔同笼

例1   鸡兔同笼

【问题描述】

一个笼子里面关了鸡和兔子（鸡有2 只脚，兔子有4 只脚，没有例外）。已知笼子里面脚的总数a，问笼子里面至少有多少只动物，至多有多少只动物？

【输入数据】

第1 行是测试数据的组数n，后面跟着n 行输入。每组测试数据占1 行，包括一个正整数a (a < 32768)。

【输出要求】

n 行，每行输出对应一个输入。输出是两个正整数，第一个是最少的动物数，第二个是最多的动物数，两个正整数用空格分开。如果没有满足要求的情况出现，则输出2 个0。

【输入样例】

2

3

20

【输出样例】

0  0

5  10

      （1）编程思路。

      由于鸡有2 只脚，兔子有4 只脚，因此笼子里面脚的总数一定是个偶数。如果有奇数只脚，则输入不正确。即没有满足要求的情况出现，则输出2 个0。

当a是偶数时，若要动物数目最少，则应使动物尽量有4 只脚，而要动物数目最多，则应使动物尽量有2 只脚。因此本题无需用循环穷举，只需按上面的分析找到相应的计算式子即可。

如果总脚数a 是4 的倍数，则动物最少数目为a / 4（全部为兔子），最多为a / 2（全部为鸡）。

如果总脚数a 不是4 的倍数，则动物最少数目为a/4+1（除1只鸡外，其余全部为兔子），最多为a / 2（全部为鸡）。

因此，编写一个简单的选择结构实现相应的判断和计算输出就可以了。

      （2）源程序。

#include <stdio.h>

int main()

{

   int n,i,a;

   scanf("%d",&n);

   while (n--)

   {

        scanf("%d",&a);

              if (a%2!=0)

          printf("0 0\n");

        else if (a % 4!=0)

          printf("%d %d\n",a/4+1,a/2);

        else

          printf("%d %d\n",a/4,a/2);

   }

   return 0;

}

 

习题1

1-1  P1348 Couple number

      本题选自洛谷题库 （https://www.luogu.org/problem/P1348）

【题目描述】

任何一个整数N都能表示成另外两个整数a和b的平方差吗？如果能，那么这个数N就叫做Couple number。你的工作就是判断一个数N是不是Couple number。

【输入格式】

仅一行，两个长整型范围内的整数n1和n2，之间用1个空格隔开。

【输出格式】

输出在n1到n2范围内有多少个Couple number。

注意：包括n1和n2两个数，且n1<n2，n2 - n1 <= 10 000 000。

【输入样例】

1  10

【输出样例】

7

       （1）编程思路。

          本题的关键问题是如何判断一个数N是不是Couple number。

           设N=a²-b²，则N=(a+b)(a-b) 

        由于a，b均为整数，则a+b与a-b的奇偶性一定相同。

        如果a+b是奇数，奇数乘奇数一定是奇数，因此N一定是奇数。

        如果a+b是偶数，偶数乘偶数一定是4的倍数，因此N也一定是4的倍数。

        由此可知，Couple number要么是奇数，要么是4的倍数。

        反过来，一个奇数或一个4的倍数的数是否一定是Couple number呢？我们可以很简单地构造出a和b来。

        若N是奇数，可设N=2k-1 （k是整数）。可取a=k,b=k-1，则N= a²-b²=(a+b)(a-b)=2k-1。

         若N是4的倍数，可设N=4k （k是整数）。可取a=k+1,b=k-1，则N= a²-b²=(a+b)(a-b)=4k。

         若N是偶数但不是4的倍数，可设N=2k （k为奇数），则N无论如何分解因数，一定只能分解为一个偶数和一个奇数相乘，这样(a+b)与(a-b)中一定一个为奇数，另一个为2的奇数倍。但是(a+b)和(a-b)同奇偶性，因此N无法表示成两个整数a和b的平方差。

        （2）源程序。

#include <stdio.h>

int main()

{

    int n1,n2,i,cnt=0;

       scanf("%d%d",&n1,&n2);

    for (i=n1;i<=n2;i++)

              if (i%2!=0 || i%4==0)

                     cnt++;

       printf("%d\n",cnt);

       return 0;

}

 

1-2  整数解

       本题选自HDU  OJ （http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2092）

Problem Description

有二个整数，它们加起来等于某个整数，乘起来又等于另一个整数，它们到底是真还是假，也就是这种整数到底存不存在，实在有点吃不准，你能快速回答吗？看来只能通过编程。

例如：

x + y = 9，x * y = 15 ? 找不到这样的整数x和y

1+4=5，1*4=4，所以，加起来等于5，乘起来等于4的二个整数为1和4

7+(-8)=-1，7*（-8）=-56，所以，加起来等于-1，乘起来等于-56的二个整数为7和-8

Input

输入数据为成对出现的整数n，m（-10000<n,m<10000），它们分别表示整数的和与积，如果两者都为0，则输入结束。

Output

只需要对于每个n和m，输出“Yes”或者“No”，明确有还是没有这种整数就行了。

Sample Input

9 15

5 4

1 -56

0 0

Sample Output

No

Yes

Yes

        （1）编程思路。

          设 x+y=n  x*y=m，可得  x*(n-x)=m   x²-nx+m=0

         求解这个以x为未知数的一元二次方程。

         令 dlt=n²-4m，

         若dlt<0，则方程无实根，x和y更不可能为整数，因此，输出“No”。

        若dlt==0，可求得x=y=n/2，且x和y均为整数，因此，输出“Yes”。

        若dlt>0，根据一元二次方程求根公式求得方程两个实根x1和x2（这两个实根不一定是整数），且取整数分别赋给x和y。若满足x+y==n且 x*y==m，则输出“Yes”，否则输出“No”。

    （2）源程序。

#include <stdio.h>

#include <math.h>

int main()

{

    int n,m,dlt,x,y;

    while (1)

    {

        scanf("%d%d",&n,&m);

        if (n==0 && m==0) break;

        dlt=n*n-4*m;

        if (dlt<0)

            printf("No\n");

        else if (dlt==0)

            printf("Yes\n");

        else

        {

            x=(n+(int)sqrt(1.0*dlt))/2;

            y=(n-(int)sqrt(1.0*dlt))/2;

            if (x+y==n && x*y==m)

                printf("Yes\n");

            else

                printf("No\n");

        }

    }

    return 0;

}

 

1-3  Distance on Chessboard

        本题选自北大POJ  （http://poj.org/problem?id=1657）

Description

国际象棋的棋盘是黑白相间的8 * 8的方格，棋子放在格子中间。如下图所示：

 

王、后、车、象的走子规则如下：

王：横、直、斜都可以走，但每步限走一格。

后：横、直、斜都可以走，每步格数不受限制。

车：横、竖均可以走，不能斜走，格数不限。

象：只能斜走，格数不限。

写一个程序，给定起始位置和目标位置，计算王、后、车、象从起始位置走到目标位置所需的最少步数。

Input

第一行是测试数据的组数t（0 <= t <= 20）。以下每行是一组测试数据，每组包括棋盘上的两个位置，第一个是起始位置，第二个是目标位置。位置用"字母-数字"的形式表示，字母从"a"到"h"，数字从"1"到"8"。

Output

对输入的每组测试数据，输出王、后、车、象所需的最少步数。如果无法到达,就输出"Inf".

Sample Input

2

a1 c3

f5 f8

Sample Output

2 1 2 1

3 1 1 Inf

        （1）编程思路。

        本题给定一个棋盘上的起始位置和终止位置，分别判断王、后、车、象从起始位置到达终止位置需要的步数。

        首先，王、后、车、象彼此独立，分别考虑就可以了。分析王、后、车、象的行走规则特点，从而推出它们从起点到终点的步数。

        假设起始位置与终止位置在水平方向上的距离是 x，它们在竖直方向上的距离是y。

        根据王的行走规则，它可以横、直、斜走，每步限走一格，所以需要的步数是min(x,y)+abs(x-y)。即x，y 中较小的一个加上x 与y 之差的绝对值。

        根据后行走的规则，它可以横、直、斜走，每步格数不受限制，所以需要的步数是1（x 等于y 或者 x 等于0 或者 y 等于0）或者2(x 不等于y)。

        根据车行走的规则，它可以横、竖走，不能斜走，格数不限，需要步数为1（x 或者y 等于0）或者2(x 和y 都不等于0)。

        根据象行走得规则，它可以斜走，格数不限。棋盘上的格点可以分为两类，第一类是它的横坐标和纵坐标之差为奇数，第二类是横纵坐标之差为偶数。对于只能斜走的象，它每走一步，因为横纵坐标增加或减小的绝对值相等，所以横坐标和纵坐标之差的奇偶性无论如何行走都保持不变。因此，上述的第一类点和第二类点不能互相到达。如果判断出起始点和终止点分别属于两类点，就可以得出它们之间需要无数步的结论。如果它们属于同一类点，象从起始点走到终止点需要1（x 的绝对值等于y 的绝对值）或者2（x 的绝对值不等于y 的绝对值）。

       （2）源程序。

#include <stdio.h>

#include <math.h>

int main()

{

    int n;

    char  begin[5], end[5];   // 用 begin 和 end 分别存储棋子的起止位置

    int x, y;     

    scanf("%d", & n);

    while( n--)

       {

        scanf("%s %s", begin, end);

        x = abs(begin[0] - end[0]);

        y = abs(begin[1] - end[1]);

        if(x == 0 && y == 0)

            printf("0 0 0 0\n");        // 起止位置相同，所有棋子都走0步

        else{

            if(x < y)printf("%d",y);     //王的步数

            else printf("%d",x);

            if(x == y || x == 0 || y == 0) printf(" 1");    //后的步数

            else printf("2");

            if(x == 0 || y == 0) printf(" 1");      //车的步数

            else printf(" 2");

            if(abs(x-y) % 2 != 0) printf(" Inf\n");     //象的步数 

            else if(x == y) printf(" 1\n");

            else printf(" 2\n");

        }

    }

      return 0;

}