递推（一）：递推法的基本思想

      所谓递推，是指从已知的初始条件出发，依据某种递推关系，逐次推出所要求的各中间结果及最后结果。其中初始条件或是问题本身已经给定，或是通过对问题的分析与化简后确定。

      利用递推算法求问题规模为n的解的基本思想是：当n=1时，解或为已知，或能非常方便地求得；通过采用递推法构造算法的递推性质，能从已求得的规模为1、2、…、i−1的一系列解，构造出问题规模为i的解。这样，程序可从i=0或i=1出发，重复地由已知至i−1规模的解，通过递推，获得规模为i的解，直至获得规模为n的解。

      可用递推算法求解的问题一般有以下两个特点： （1） 问题可以划分成多个状态； （2） 除初始状态外，其它各个状态都可以用固定的递推关系式来表示。当然，在实际问题中，大多数时候不会直接给出递推关系式，而是需要通过分析各种状态，找出递推关系式。

      利用递推算法解决问题，需要做好以下四个方面的工作：

      （1）确定递推变量

      应用递推算法解决问题，要根据问题的具体实际设置递推变量。递推变量可以是简单变量，也可以是一维或多维数组。从直观角度出发，通常采用一维数组。

      （2）建立递推关系

       递推关系是指如何从变量的前一些值推出其下一个值，或从变量的后一些值推出其上一个值的公式（或关系）。递推关系是递推的依据，是解决递推问题的关键。有些问题，其递推关系是明确的，大多数实际问题并没有现成的明确的递推关系，需根据问题的具体实际，通过分析和推理，才能确定问题的递推关系。

       （3）确定初始（边界）条件

       对所确定的递推变量，要根据问题最简单情形的数据确定递推变量的初始（边界）值，这是递推的基础。

      （4）对递推过程进行控制

      递推过程不能无休止地重复执行下去。递推过程在什么时候结束，满足什么条件结束，这是编写递推算法必须考虑的问题。

       递推过程的控制通常可分为两种情形：一种是所需的递推次数是确定的值，可以计算出来；另一种是所需的递推次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对递推过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束递推过程的条件。

       递推通常由循环来实现，一般在循环外确定初始（边界）条件，在循环中实施递推。

       递推法从递推方向可分为顺推与倒推。

       所谓顺推法是从已知条件出发，通过递推关系逐步推算出要解决的问题的结果的方法。如求斐波拉契数列的第20项的值，设斐波拉契数列的第n项的为f(n)，已知f(1)=1，f(2)=1；通过递推关系式f(n)=f(n-2)+f(n-1) （n>=3，n∈N），可以顺推出f(3)=f(1)+f(2)=2、f(4)=f(2)+f(3)=3、…直至要求的解f(20)=f(18)+f(19)=6765。

      所谓倒推法，就是在不知初始值的情况下，经某种递推关系而获知了问题的解或目标，从这个解或目标出发，采用倒推手段，一步步地倒推到这个问题的初始情况。

      一句话概括：顺推是从条件推出结果，倒推从结果推出条件。

       顺推法是从前往后推，从已求得的规模为1、2、…、i−1的一系列解，推出问题规模为i的解，直至得到规模为n的解。顺推算法可描述为：

for (k=1; k<=i−1; k++)

     f[k]= <初始值>；               // 按初始条件，确定初始值

for (k=i; k<=n; k++)

    f[k]= <递推关系式>；       // 根据递推关系实施递推

cout<<f[n]；                   // 输出n规模的解f(n)

       倒推法是从后往前推，从已求得的规模为n、n−1、…、i+1的一系列解，推出问题规模为i的解，直至得到规模为1的解（即初始情况）。倒推算法可描述为：

for (k=n; k>=i+1; k--)

     f[k]= <初始值>；               // 按初始条件，确定初始值

for (k=i; k>=1; k--)

    f[k]= <递推关系式>；       // 根据递推关系实施递推

cout<<f[1]；                   // 输出问题的初始情况f(1)

       递推问题一般定义一维数组来保存各项推算结果，较复杂的递推问题还需定义二维数组。例如，当规模为i的解为规模为1、2、…、i−1的解通过计算处理决定时，可利用二重循环处理这一较为复杂的递推。

【例1】RPG涂色问题

      有排成一行的n个方格，用红（Red）、粉（Pink）、绿（Green）三种颜色涂每个格子，每个格子涂一种色，要求任何相邻的方格不能同色，且首尾两格也不同色。

      编写一个程序，输入方格数n（0<n<=30），输出满足要求的全部涂法的种数。

      （1） 编程思路

      设满足要求的n个方格的涂色方法数为F(n)。

      因为RPG有三种颜色，可以先枚举出当方格数为1、2、3时的涂法种数。

      显然，     F(1)=3   （即R、P、G三种）

      F(2)=6   （即RP、RG、PR、PG、GR、GP六种）

      F(3)=6   （即RPG、RGP、PRG、PGR、GRP、GPR六种）

      当方格的个数大于3时，n个方格的涂色方案可以由n-1方格的涂色方案追加最后一个方格的涂色方案得出，分两种情况：

      1）对于已按要求涂好颜色的n-1个方格，在F(n-1)种合法的涂色方案后追加一个方格（第n个方格），由于合法方案的首尾颜色不同（即第n-1个方格的颜色不与第1个方格的相同），这样，第n个方格的颜色也是确定的，它必定是原n-1个方格的首尾两种颜色之外的一种，因此，在这种情况下的涂色方法数为F(n-1)。

      2）对于已按要求涂好颜色的n-2个方格，可以在第n-1个方格中涂与第1个方格相同的颜色，此时由于首尾颜色相同，这是不合法的涂色方案，但可以在第n个方格中涂上一个合法的颜色，使其成为方格长度为n的合法涂色方案（注意：当n等于3时，由于第1(3-2)个方格与第2(3-1)个方格颜色相同，第3个方格不论怎样涂都不会合法，因此递推的前提是n大于3），在第n个方格中可以涂上两种颜色（即首格外的两种颜色，因为与它相连的第n-1个方格和第1个方格的颜色是一样的），因此，在这种情况下的涂色方法数为2*F(n-2)。

由此，可得递推公式：F(n)= F(n-1) + 2*F(n-2)  (n>=4)

程序中定义3个变量f1、f2和f3分别表示F (n-2)、F(n-1)和F(n)，初始时f1=6、f2=6。

当n<4时，根据初始情况直接输出结果。

当n>=4时，用循环递推计算F(n)。程序段描述为：

    for(i=4;i<=n;i++)

    {

        f3=f1+f2;          // 计算当前F(i)

        f1=f2;   f2=f3;    // 为下一次递推做准备

    }

      （2）源程序及运行结果

#include <iostream>

using namespace std;

int main()

{

   int i,n,f1,f2,f3,num;

   cout<<"请输入方格的数目 n （0<n<=30）:";

   cin>>n;    

   if (n==1)  num=3;

   else if (n==2 || n==3)  num=6;

   else

   {

          f1=6;  f2=6;

       for(i=4;i<=n;i++)  

          {

              f3=2*f1+f2;         // 递推求F(i)

                 f1=f2;  f2=f3;       // 为下次递推做准备

          }

          num=f3;

   }

   cout<<n<<"个方格的正确涂色方案一共有"<<num<<"种。"<<endl;

   return 0;

}

      为更清晰地描述递推过程并保存中间结果，可以定义一个一维数组f[31]，数组元素f[i]保存总数为i个方格的涂色方法数。初始值： f[1]=3、f[2]=6、f[3]=6。源程序清单如下。

#include <iostream>

using namespace std;

int main()

{

   int i,n,f[31];

   f[0]=0;   

   f[1]=3;    

   f[2]=6;   

   f[3]=6;    

   for(i=4;i<31;i++)        

          f[i]=f[i-1]+2*f[i-2];    

   cout<<"请输入方格的数目 n （n<=30）:";

   cin>>n;    

   cout<<n<<"个方格的正确涂色方案一共有"<<f[n]<<"种。"<<endl;

   return 0;

}