穷举（一）：穷举法的基本思想

      穷举是用计算机求解问题最常用的方法之一，常用来解决那些通过公式推导、规则演绎的方法不能解决的问题。采用穷举法求解一个问题时，通常先建立一个数学模型，包括一组变量、以及这些变量需要满足的条件。问题求解的目标就是确定这些变量的值。根据问题的描述和相关的知识，能为这些变量分别确定一个大概的取值范围。在这个范围内对变量依次取值，判断所取的值是否满足数学模型中的条件，直到找到全部符合条件的值为止。

      穷举法（枚举法）的基本思想是：列举出所有可能的情况，逐个判断有哪些是符合问题所要求的条件，从而得到问题的全部解答。

      它利用计算机运算速度快、精确度高的特点，对要解决问题的所有可能情况，一个不漏地进行检查，从中找出符合要求的答案。

      用穷举算法解决问题，通常可以从两个方面进行分析。

      （1）问题所涉及的情况：问题所涉及的情况有哪些，情况的种数可不可以确定。把它描述出来。应用穷举时对问题所涉及的有限种情形必须一一列举，既不能重复，也不能遗漏。重复列举直接引发增解，影响解的准确性；而列举的遗漏可能导致问题解的遗漏。

      （2）答案需要满足的条件：分析出来的这些情况，需要满足什么条件，才成为问题的答案。把这些条件描述出来。

      只要把这两个方面分析好了，问题自然会迎刃而解。

      穷举通常应用循环结构来实现。在循环体中，根据所求解的具体条件，应用选择结构实施判断筛选，求得所要求的解。

      穷举法的程序框架一般为：

cnt=0;                                   // 解的个数初值为0

for(k=<区间下限>；k<=<区间上限>；k++)          // 根据指定范围实施穷举 

   if (<约束条件>)                         // 根据约束条件实施筛选 

   { 

      cout<<(<满足要求的解>);              // 输出满足要求的解 

      cnt++;                            // 统计解的个数 

   }

【例1】硬币方案

      有50枚硬币，可能包括4种类型：1元、5角、1角和5分。

      已知50枚硬币的总价值为20元，求各种硬币的数量。

      例如：2、34、6、8就是一种方案。而2、33、15、0是另一个可能的方案，显然方案不唯一。

      编写程序求出类似这样的不同的方案一共有多少种？

      （1）编程思路。

      直接对四种类型的硬币的个数进行穷举。其中，1元最多20枚、5角最多40枚、1角最多50枚、5分最多50枚。

      另外，如果以元为单位，则5角、1角、5分会化成浮点型数据，容易计算出错。可以将1元、5角、1角、5分变成100分、50分、10分和5分，从而全部采用整型数据处理。

      （2）源程序及运行结果。

#include <iostream>         

using namespace std;

int main()                           

{

    int a,b,c,d,cnt=0; 

    for(a=0;a<=20;a++) 

     for(b=0;b<=40;b++) 

      for(c=0;c<=50;c++) 

       for(d=0;d<=50;d++) 

          { 

          if(a*100+b*50+c*10+d*5==2000 && a+b+c+d==50) 

                { 

             cout<<a<<" , "<<b<<" , "<<c<<" , "<<d<<endl; 

             cnt++; 

                } 

          } 

    cout<<"Count="<<cnt<<endl; 

    return 0; 

} 

      （3）程序的优化。

      上面的程序采用穷举法求解，比较简单。但在穷举结构的设置、穷举参数的选取等方面存在着改进与优化的空间。

一般来说，在采用穷举法进行问题求解时，可从两个方面来优化考虑。

      1）建立简洁的数学模型。

      数学模型中变量的数量要尽量少，它们之间相互独立。这样问题解的搜索空间的维度就小。反应到程序代码中，循环嵌套的层次就少。例如，上面的程序中，采用变量a、b、c、d分别表示1元、5角、1角和5分硬币的枚数，对这4个变量穷举，循环层次为4层。实际上这4个变量彼此间有两个条件在约束，或者枚数等于50，或者总价值为20元。因此，可以只穷举3个变量，另外一个变量通过约束条件求出，从而将循环层次减少为3层。

      2）减小搜索的空间。

      利用已有的知识，缩小数学模型中各个变量的取值范围，避免不必要的计算。反应到程序代码中，循环体被执行的次数就减少。例如，在穷举时，先考虑1元的枚数a，最多为20枚（即0<=a<=20），再考虑5角的枚数b，若采用总价值不超过20元约束，则其枚数最多为(2000-a*100)/50枚（即0<=b<=(2000-a*100)/50），之后考虑1角的枚数c，其枚数最多为 (2000-a*100-b*50)/10（即0<=c<=(2000-a*100-b*50)/10）。这样穷举的循环次数会大大减少。

      采用上述思路优化后的源程序如下。

#include <iostream>         

using namespace std;

int main()                           

{

    int a,b,c,d,cnt=0; 

    for(a=0;a<=20;a++) 

     for(b=0;b<=(2000-a*100)/50;b++) 

      for(c=0;c<=(2000-a*100-b*50)/10;c++) 

          { 

          d=(2000-a*100-b*50-c*10)/5;    // 剩下的用5分硬币填充

                if(a+b+c+d==50) 

                { 

             cout<<a<<" , "<<b<<" , "<<c<<" , "<<d<<endl; 

             cnt++; 

                } 

          } 

    cout<<"Count="<<cnt<<endl; 

    return 0; 

} 

      也可以采用总枚数不超过50枚约束。先考虑1元的枚数a，最多为20枚（即0<=a<=20），再考虑5角的枚数b，则其枚数最多为(50-a)枚（即0<=b<=(50-a），之后考虑1角的枚数c，其枚数最多为 (50-a-b)枚（即0<=c<=50-a-b）。采用这种思路优化后的源程序如下。

#include <iostream>         

using namespace std;

int main()                           

{

    int a,b,c,d,cnt=0; 

    for(a=0;a<=20;a++) 

     for(b=0;b<=50-a;b++) 

      for(c=0;c<=50-a-b;c++) 

          { 

          d=50-a-b-c;    // 剩下的用5分硬币填充

                if(100*a+50*b+10*c+5*d==2000) 

                { 

             cout<<a<<" , "<<b<<" , "<<c<<" , "<<d<<endl; 

             cnt++; 

                } 

          } 

    cout<<"Count="<<cnt<<endl; 

    return 0; 

}