第五章 树和二叉树（5.4-5.5.1）

目录

• 5.4 二叉树的性质和存储结构
  • 5.4.1二叉树的性质
  • 5.4.2二叉树的存储结构
  • 1.顺序存储结构
  • 2.链式存储结构
• 5.5遍历二叉树和线索二叉树
  • 5.5.1遍历二叉树
    • 1.遍历二叉树的算法描述
      • 1.1先序遍历
      • 1.2.中序遍历
        • 算法5.1 中序遍历的递归算法
        • 算法5.2 中序遍历的非递归算法
      • 1.3.后序遍历
    • 2.根据遍历序列确定二叉树
    • 3.二叉树遍历的顺序建立二叉链表

5.4 二叉树的性质和存储结构

5.4.1二叉树的性质

性质1：第i层上至多有2^{i-1}个结点（i从1开始增加）

性质2：深度为 l 的二叉树至多有2^{l}-1个结点

二叉树的深度为l，每一层上的结点数目为2^{i-1}，由等比数列的求和公式可以得出结果：

​

性质3：对于任何一棵二叉树，若叶子结点数为N0,度为2的结点数为N2，则

由树的基本定义与结构中可以了解得叶子结点数与度的概念，假设二叉树中的结点总数为N,同时度为1的结点数为N1，有以下等式：

​ 

根据度的概念可以得知，结点向下延伸的直线连接至另一个结点，向下关联的结点数目就是结点的度，而每一个结点仅仅只有一条由上向下连接的直线。所以，所有的结点数目之和等于连接的直线数加1（1代表顶端的根结点），度为2的点向下发出的直线数目为2，度为1的结点发出的数目为1：

​

综合以上两式，得出结论为：

注：完全二叉树与满二叉树的区别，满二叉树是指深度为l，并且具有2^{l}-1个结点的二叉树，完全二叉树是指在深度为l， 结点数为n的二叉树中，当且仅当每一个结点与深度为l的满二叉树中编号为1至n的结点一一对应时，该二叉树称作完全二叉树（即二叉树若存在第l层，其上l-1层必定是满二叉树）。两种二叉树的示意图如下：

性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度k为

​

假设完全二叉树的深度为k，又因为完全二叉树的性质，导致其节点数目n处于2^{k-1}-1至2-1之间，得出由于k是整数的缘故，所以

​

性质5： 若对一棵有n个结点的完全二叉树结点按每一层从左到右的顺序来编号，对于任何一个编号为i的结点均有以下结论：

（1） i = 1，则 i 是二叉树的根，无双亲。若i >1，则双亲是编号为 的结点

（2）若 2i> n，结点i无左孩子，否则，其左孩子结点的编号为2i

（3）若2i+1>n，则结点i 无右孩子，否则其右孩子是节点2i+1

以图“完全二叉树”为例，编号为3的结点无右孩子，编号为4、5、6的结点无左孩子

5.4.2二叉树的存储结构

1.顺序存储结构

#define MAXTSIZE 100  //二叉树的最大结点数
typedef TElemType SqBiTree[MAXTSIZE];//0号单元存储根结点
SqBiTree bt; //数组bt

2.链式存储结构

//二叉树的二叉链表存储表示
typedef struct BiTNode{
	TElemType data;  //结点数据域
	struct BiTNode *lchild,*rchild; //左右孩子指针
}BiTNode,*BiTree;

5.5遍历二叉树和线索二叉树

5.5.1遍历二叉树

1.遍历二叉树的算法描述

1.1先序遍历

若二叉树为空，则：空操作
否则：
访问根结点（D）;
先序遍历左子树（L）;
先序遍历右子树（R）;

void PreOrderTraverse(BiTree T)
{
	if (T)  //非空二叉树
	{
		printf("%d", T->data);  //访问根结点
		PreOrderTraverse(T->lchild); //递归遍历左子树
		PreOrderTraverse(T->rchild);  //递归遍历右子树
	}
}

1.2.中序遍历

若二叉树为空，则：空操作
否则：

中序遍历左子树（L）;
访问根结点（D）;
中序遍历右子树（R）;

void InOrderTraverse(BiTree T)
{
	if (T)  //非空二叉树
	{
		InOrderTraverse(T->lchild); //递归遍历左子树
		printf("%d", T->data);  //访问根结点
		InOrderTraverse(T->rchild);  //递归遍历右子树
	}
}

算法5.1 中序遍历的递归算法

void InOrder(BiTree T){
	if(T){
		InOrder(T->lchild);
		cout<<T->data<<" ";
		InOrder(T->rchild);
	}
}

算法5.2 中序遍历的非递归算法

void InOrder(BiTree T){
	//还是模拟上面的遍历过程
	BiTree ptr[20];
	int top = -1;
/*下面的双重判断和前面的一样，在进栈、出栈的过程中可能会出现栈空的情况，而此时的遍历还没有结束，
所以需要据此来维持循环的进行。*/
	while(T || top!=-1){
		while(T){
			ptr[++top] = T;
			T = T->lchild;
		}
		if(top!=-1){
			T = ptr[top--];
			cout<<T->data<<" ";   //输出在出栈后
			T = T->rchild;
		} 
	} 
	
}

1.3.后序遍历

若二叉树为空，则：空操作
否则：

后序遍历左子树（L）;
后序遍历右子树（R）;
访问根结点（D）;

void PostOrderTraverse(BiTree T)
{
	if (T)  //非空二叉树
	{
		PostOrderTraverse(T->lchild); //递归遍历左子树
		PostOrderTraverse(T->rchild);  //递归遍历右子树
		printf("%d", T->data);  //访问根结点
	}
}

2.根据遍历序列确定二叉树

3.二叉树遍历的顺序建立二叉链表