dp[2019.5.25]
1、实例计算（写出计算过程）：
1)对维数为序列<5, 10, 3, 12, 5, 50, 6>的各矩阵，找出其矩阵链乘积的一个最优加全部括号。
这是一个矩阵连乘问题，基本知识可以参考：
就本题分析如下：
用递推公式
m[i][j]表示为：
i=j时，m[i][j]填0；i>j时，m[i][j]为空；i>j时，求min。
后一级基于前一级dp出的最优解(每一级即与对角线平行的线)
i\j 1 2 3 4 5 6
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
----------------------------------------------
i=1,j=2：m[1][2]=min{0+0+5×10×3}=150；
i=2,j=3：m[2][3]=min{0+0+10×3×12}=360；
i=3,j=4：m[3][4]=min{0+0+3×12×5}=180；
i=4,j=5：m[4][5]=min{0+0+12×5×50}=3000；
i=5,j=6：m[5][6]=min{0+0+5×50×6}=1500；
i\j 1 2 3 4 5 6
1 0 150
2 0 360
3 0 180
4 0 3000
5 0 1500
6 0
------------------------------------------------
i=1,j=3：
m[1][3]
=min{m[1][1]+m[2][3]+p0p1p3，m[1][2]+m[3][3]+p0p2p3} //m[2][3]和m[1][2]就用前一级的360和150
=min{0+360+5×10×12，150+0+5×3×12}
=330；
i=2,j=4：
m[2][4]
=min{m[2][2]+m[3][4]+p1p2p4，m[2][3]+m[4][4]+p1p3p4} //m[3][4]和m[2][3]就用前一级的180和360
=min{0+180+10×3×5，360+0+10×12×5}
=330；
i=3,j=5：
m[3][5]
=min{m[3][3]+m[4][5]+p2p3p5，m[3][4]+m[5][5]+p2p4p5}//m[4][5]和m[3][4]就用前一级的3000和180
=min{0+3000+3×12×5，180+0+3×5×50}
=930；
i=4,j=6：
m[4][6]
=min{m[4][4]+m[5][6]+p3p4p6，m[4][5]+m[6][6]+p3p5p6}//m[5][6]和m[4][5]就用前一级的1500和3000
=min{0+1500+12×5×6，3000+0+12×50×6}
=1860；
i\j 1 2 3 4 5 6
1 0 150 330
2 0 360 330
3 0 180 930
4 0 3000 1860
5 0 1500
6 0
----------------------------------------------------------
i=1,j=4：
m[1][4]
=min{m[1][1]+m[2][4]+p0p1p4，m[1][2]+m[3][4]+p0p2p4，m[1][3]+m[4][4]+p0p3p4}
=min{0+330+5×10×5，150+180+5×3×5，330+0+5×12×5}
=min{580，405，630}
=405
i=2,j=5：
m[2][5]
=min{m[2][2]+m[3][5]+p1p2p5，m[2][3]+m[4][5]+p1p3p5，m[2][4]+m[5][5]+p1p4p5}
=min{0+930+10×3×50，360+3000+10×12×50，330+0+10×5×50}
=min{2430，9360，2830}
=2430
i=3,j=6：
m[3][6]
=min{m[3][3]+m[4][6]+p2p3p6，m[3][4]+m[5][6]+p2p4p6，m[3][5]+m[6][6]+p2p5p6}
=min{0+1860+3×12×6，180+1500+3×5×6，930+0+3×50×6
=min{2076，1770，1830}
=1770
i\j 1 2 3 4 5 6
1 0 150 330 405
2 0 360 330 2430
3 0 180 930 1770
4 0 3000 1860
5 0 1500
6 0
----------------------------------------------------------
i=1,j=5：
m[1][5]
=min{m[1][1]+m[2][5]+p0p1p5，m[1][2]+m[3][5]+p0p2p5，
m[1][3]+m[4][5]+p0p3p5，m[1][4]+m[5][5]+p0p4p5}
=min{0+2430+5×10×50，150+930+5×3×50，330+3000+5×12×50，405+0+5×5×50}
=min{4930，1830，6330，1655}
=1655
i=2,j=6：
m[2][6]
=min{m[2][2]+m[3][6]+p1p2p6，m[2][3]+m[4][6]+p1p3p6，
m[2][4]+m[5][6]+p1p4p6，m[2][5]+m[6][6]+p1p5p6}
=min{0+1770+10×3×6，360+3000+10×12×6，330+1500+10×5×6，2430+0+10×50×6}
=min{，4080，2130，5430}
=1950
i\j 1 2 3 4 5 6
1 0 150 330 405 1655
2 0 360 330 2430 1950
3 0 180 930 1770
4 0 3000 1860
5 0 1500
6 0
----------------------------------------------------------
终于到最后了，只要求出m[1][6]就可以了！
m[1][6]
=min{m[1][1]+m[2][6]+p0p1p6，m[1][2]+m[3][6]+p0p2p6，
m[1][3]+m[4][6]+p0p3p6，m[1][4]+m[5][6]+p0p4p6，m[1][5]+m[6][6]+p0p5p6}
=min{0+1950+5×10×6，150+1770+5×3×6，
330+1860+5×12×6，405+1500+5×5×6，1655+0+5×50×6}
=min{2250，2010，2550，2055，3155}
=2010
所以矩阵连乘的最小值m[1][6]=2010
此时，
m[1][6]=m[1][2]+m[3][6]+p0p2p6
m[3][6]= m[3][4]+m[5][6]+p2p4p6
画的括号为：(A1A2) ( (A3A4) (A5A6) )
核心代码：
void matrixChain(int p[],int m[][],int s[][]) //p用来记录矩阵，m[i][j]表示第i个矩阵到第j个矩阵的最优解，s[][]记录从哪里断开可以得到最优解 { int n=len-1; for(int i=1; i<=n; i++)//初始化数组 m[i][j]=0; for(int r=2; r<=n; r++)//对角线循环 { for(int i=1; i<=n-r+1; i++) //行循环 { int j=i+r-1;//列的控制 m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];//找m[i][j]的最小值，初始化使k=i; s[i][j]=i; for(int k=i+1; k<j; k++) { int t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j]; if(t<m[i][j]) { s[i][j]=k;//在k位置断开得到最优解 m[i][j]=t; } } } } }
2）确定<1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1>和<0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0>的一个最长公共子序列LCS。
板子题，直接套之前写的那篇：https://www.cnblogs.com/fangxiaoqi/p/10915451.html
#include<bits/stdc++.h> #define MAX 5005 using namespace std; int f[MAX][MAX]; string s,t; int main(){ while(cin>>s>>t){ for(int i=1;i<=s.length();i++) for(int j=1;j<=t.length();j++){ f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]); if(s[i-1]==t[j-1]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-1]+1); } cout<<f[s.length()][t.length()]<<endl; } return 0; }
2、算法设计
1）问题：有n个物品，第i个物品价值为vi，重量为wi，其中vi和wi均为非负数，背包的容量为W，W为非负数。现需要考虑如何选择装入背包的物品，使装入背包的物品总价值最大。
用dp解背包
假定一组数据：
vi 4 5 10 11 13
wi 3 4 7 8 9
① 分析最优解的结构
如果背包最优解中有物品n，xn=1，那么x1----x(n-1)就是这n-1个子问题在容量W-wn时的最优解。如果背包最优解中无n，xn=0，那么x1-----x(n-1)一定构成这n-1个子问题在W时的最优解。
② 建立递归关系
设m[i,w]为背包容量w时i个物品导致的最优解的总价值，根据递归关系导出状态转移方程：
If i>0&&wi<=w
m[I,w]=max{m[i-1,w-wi]+vi，m[i-1,w]}
else
m[I,w]=m[i-1,w]
③ 计算最优值
最优值就是m[i,w]，对应的放置内容从后向前逐级递归。
2）一个序列有N个数：A[1],A[2],…,A[N]，求出最长上升子序列的长度（LIS：longest increasing subsequence)。例如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 5, 9) , (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 9) ，(1, 3, 5, 8)和(1, 3, 4, 8).
最大递增子序列，直接套之前写的代码：https://www.cnblogs.com/fangxiaoqi/p/10915452.html
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int sum[1001],a[1001]; int main(){ int i,n,mmax=0,maxa=0; while(cin>>n && n){ memset(a,0,sizeof(a)); for(i=1; i<=n; i++){ cin>>a[i]; } for(i=1; i<=n; i++){ mmax = 0; for(int j=1; j<i; j++) if(a[j] < a[i]) mmax = max(sum[j],mmax); sum[i] = mmax + a[i]; maxa = max(maxa,sum[i]); } cout<<maxa<<endl; maxa = 0; } return 0; }
3）问题描述 ：设有一个长度N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。
例子：有一个数字串: 312，当N=3，K=1时会有以下两种分法：
1）3*12=36
2）31*2=62
这时，符合题目要求的结果是： 31*2=62
现在，请你设计一个程序，求得正确的答案。
分析：
这个问题有dp的最优子结构，以插入的乘号数来划分阶段，若插入K个乘号，问题是一种K个阶段的决策问题，记m[i][k]表示在前i位数中插入K个乘号所得的max，用来保存每个阶段的状态，a{j}[i]表示从j位到第i位组成的数字。
得到状态转移方程：
m[i][k] = max{m[j][k-1]*a[j+1][i]} (k<=j<=i)
&& m[j][0] = a[1][j] (1<j<=i)
代码：
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main(){ int K,N,i,j,k; char s[41]; int dp[41][7]; int num[41][41]; cin >> N >> K >> s; memset(dp,0,sizeof(dp)); for(i=0;i<N;i++){ int temp = 0; for(j=i;j<N;j++){ temp = temp*10 + s[j] - '0'; num[i][j] = temp; } } for(i=0;i<N;i++) dp[i][0] = num[0][i]; for(i=0;i<N;i++) for(j=1;j<=K;j++) for(k=0;k<i;k++) dp[i][j] = max(dp[k][j-1]*num[k+1][i],dp[i][j]); cout << dp[N-1][K] << endl; return 0; }
