线性规划对偶问题

生产计划优化

　　企业的生产计划优化问题就是一类对偶问题。

　　例如：某厂生产A，B， C三种产品，每种产品的单位利润分别为12，18和15，资源消耗如下表，求总利润最大的生产方案。

	A	B	C	限制
原料1/单位产品	6	9	5	200
原料2/单位产品	12	16	17	360
人工/单位产品	25	20	12	780

　　设生产A，B，C分别为𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑个单位，数学模型为（LP）:

\[\begin{array}{l}
\max z = 12{x_1} + 18{x_2} + 5{x_3}\\
s.t.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{6{x_1} + 9{x_2} + 5{x_3} \le 200}\\
{12{x_1} + 16{x_2} + 17{x_3} \le 360}\\
{25{x_1} + 20{x_2} + 12{x_3} \le 780}\\
{{x_1} \ge 0,{x_2} \ge 0,{x_3} \ge 0}
\end{array}} \right.
\end{array}\]

　　考虑到资源限制：

　　如果把接受外来加工任务看成将企业的三种资源（原料1、原料2和人工）出售给对方，每单位资源$i$售价（利润）为$y_i$，$i$ = 1、2、3，则6个单位资源1加12个单位资源2再加上25个小时人工相当于一个单位产品A，故这些资源的总售价应至少为产品A的售价，不然给别人加工不如自己生产产品A。

　　即 6$y_1$ + 12$y_2$ + 25$y_3$ ≥ 12。

　　同理有9$y_1$ + 16$y_2$ + 20$y_3$ ≥ 18。
　　　　　5$y_1$ + 17$y_2$ + 12$y_3$ ≥ 15。

　　我们得到如下对偶线性规划（DLP）:

\[\begin{array}{l}
\min z = 200{y_1} + 360{y_2} + 780{y_3}\\
s.t.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{6{y_1} + 12{y_2} + 25{y_3} \ge 12}\\
{9{y_1} + 16{y_2} + 20{y_3} \ge 18}\\
{5{y_1} + 17{y_2} + 12{y_3} \ge 15}\\
{{y_1} \ge 0,{y_2} \ge 0,{y_3} \ge 0}
\end{array}} \right.
\end{array}\]