Lebesgue-遭受冷遇的数学家

本文摘录一些关于数学家勒贝格的故事, 主要参考^[1], 非常推荐大家看看原文.

不为人接受的积分理论

勒贝格发明的Lebesgue积分无疑是了不起的成就, 开创了数学新时代. 我当时学习实变函数理论时, 虽然是最基本的理论, 不由得被各种精妙的结论所折服. 但是, 读到关于勒贝格本人的一些事迹, 又不不得不多几份感慨.

首先, 他的这一新奇的理论, 并不是马上就能被同行专家所接受的.

...在国外，如英国、比利时、奥地利、俄罗斯和波兰，Lebesgue的积分立刻得到了接纳、闸述和应用，但是法国不教授Lebesgue积分，Lebesgue本人也只是借Peccot讲座的机会讲解过他的积分论自从1921年他被任命为法兰西学院的教授后，他的所有课程，除极个别例外、都是有关别的课题，直到1950年，Lebesgue积分在世界各国已是一门经典课程，然而在法国，获得数学教师资格的人可能未曾听说过Lebesgue积分. Szolem Mandelbrojt曾回忆起他当年的失望当他来到法国时找不到任何地方教授Lcbesgue积分和由此派生的数学理论...

建立Borel测度论的功劳无可争辩地应属于Lebesgue.他引入了一类新的集合，其中包括所有的零测集，任何一个Lebesgue意义下的可测集是一个Borel集和一个零测度之并，因此Borel说，Lebesgue 的贡献仅在于引入了零测集.

(虽然不太礼貌, 但是这样一语双关的说法蛮有趣的.)

Lebesgue对Borel的这一说法很伤心，两人的关系因此开始不和. Lebesgue与Baire的关系也早已出现问题Lebesgue在写给Borel的书信（Borel的书信和资料一年前已存入科学院的档案）中解释了当时矛盾冲突的情况. 1900年代初期Borel最得命运的偏爱，他的妻子很出色，是数学家PaulAppell的女儿：Baire一直在生病；而Lebesgue很贫穷，教学任务繁重（在南锡的中学每周教21小时，为家庭和经济问题疲备不堪.

(看来勒贝格和我们现在面对的环境差不多.)

Lebesgue积分

这里简单回顾一下Lebesgue积分理论.

在 Lebesgue 之前，所谓的积分就是 Riemann 积分, 我想这也是大家在中学时期学习的积分. 为了对函数 $y=f(x)$ 求积分，Riemann对自变量区间 $(a,b)$ 进行分割，进而考虑和式

\sum y_{i} (x_{i + 1} - x_{i}),

$\sum y_i(x_{i+1}-x_i),$

其中 $y_i$ 为区间 $(x_i,x_{i+1})$ 上变量 $y$ 所取的某一值. 如果当分割加细时和式趋向某一极限，该极限就是积分 $\int_a^bf(x)dx$ . 于是，称函数 $f$ 在区间 $(a,b)$ 上 Riemann 可积. Riemann 给出了函数可积的一个必要充分条件. Lebesgue 将该条件用他的测度概念以非常简单的方式译为：函数的不连续点集的测度为零.

与 Riemann 不一样，Lebesgue 分割变量 $y$ 的变化区间. 他对分割的每个区间 $(y_j,y_{j+1})$ 给出满足下列条件的点 $x$ 的集合的测度

y_{j} \leq f (x) \leq y_{j + 1},

$y_j\leq f(x)\leq y_{j+1},$

记该测度为 $m_j$ ,则积分的一个近似值为

\sum m_{j} y_{j},

$\sum m_jy_j,$

如果这些和式当分割加细时趋向于某个极限，该极限就是 Lebesgue 意义下的积分. 于是，Lebesgue 称该函数是可和的.

1926年，在哥本哈根的一次演讲中，Lebesgue是这样南述他的观点的.

“按照Riemann的方法，我们对依自变量的大小顺序所提供的不可分割的量求和，这有如没有条理的商人数钱碰到硬市数硬币，碰到纸市数纸市而我们的做法像有条理的商人的做法：我有一克朗的货币 $m(E_1)$ 个单位，共值 $1\cdot m(E_1)$ ; 我有两克朗的货币 $m(E_2)$ 个单位，共值 $2\cdot m(E_2)$ ; 我有五克朗的货币个单位，共值等等，故，总共有 $S=1\cdot m(E_1)+2\cdot m(E_2)+5\cdot m(E_5）+...$