Lebesgue-遭受冷遇的数学家

本文摘录一些关于数学家勒贝格的故事, 主要参考^[1], 非常推荐大家看看原文.

不为人接受的积分理论

勒贝格发明的Lebesgue积分无疑是了不起的成就, 开创了数学新时代. 我当时学习实变函数理论时, 虽然是最基本的理论, 不由得被各种精妙的结论所折服. 但是, 读到关于勒贝格本人的一些事迹, 又不不得不多几份感慨.

首先, 他的这一新奇的理论, 并不是马上就能被同行专家所接受的.

...在国外，如英国、比利时、奥地利、俄罗斯和波兰，Lebesgue的积分立刻得到了接纳、闸述和应用，但是法国不教授Lebesgue积分，Lebesgue本人也只是借Peccot讲座的机会讲解过他的积分论自从1921年他被任命为法兰西学院的教授后，他的所有课程，除极个别例外、都是有关别的课题，直到1950年，Lebesgue积分在世界各国已是一门经典课程，然而在法国，获得数学教师资格的人可能未曾听说过Lebesgue积分. Szolem Mandelbrojt曾回忆起他当年的失望当他来到法国时找不到任何地方教授Lcbesgue积分和由此派生的数学理论...

建立Borel测度论的功劳无可争辩地应属于Lebesgue.他引入了一类新的集合，其中包括所有的零测集，任何一个Lebesgue意义下的可测集是一个Borel集和一个零测度之并，因此Borel说，Lebesgue 的贡献仅在于引入了零测集.

(虽然不太礼貌, 但是这样一语双关的说法蛮有趣的.)

Lebesgue对Borel的这一说法很伤心，两人的关系因此开始不和. Lebesgue与Baire的关系也早已出现问题Lebesgue在写给Borel的书信（Borel的书信和资料一年前已存入科学院的档案）中解释了当时矛盾冲突的情况. 1900年代初期Borel最得命运的偏爱，他的妻子很出色，是数学家PaulAppell的女儿：Baire一直在生病；而Lebesgue很贫穷，教学任务繁重（在南锡的中学每周教21小时，为家庭和经济问题疲备不堪.

(看来勒贝格和我们现在面对的环境差不多.)

Lebesgue积分

这里简单回顾一下Lebesgue积分理论.

在 Lebesgue 之前，所谓的积分就是 Riemann 积分, 我想这也是大家在中学时期学习的积分. 为了对函数\(y=f(x)\)求积分，Riemann对自变量区间\((a,b)\)进行分割，进而考虑和式

\[\sum y_i(x_{i+1}-x_i), \]

其中\(y_i\)为区间\((x_i,x_{i+1})\)上变量\(y\)所取的某一值. 如果当分割加细时和式趋向某一极限，该极限就是积分\(\int_a^bf(x)dx\). 于是，称函数\(f\)在区间\((a,b)\)上 Riemann 可积. Riemann 给出了函数可积的一个必要充分条件. Lebesgue 将该条件用他的测度概念以非常简单的方式译为：函数的不连续点集的测度为零.

与 Riemann 不一样，Lebesgue 分割变量\(y\)的变化区间. 他对分割的每个区间\((y_j,y_{j+1})\) 给出满足下列条件的点\(x\)的集合的测度

\[y_j\leq f(x)\leq y_{j+1}, \]

记该测度为 \(m_j\) ,则积分的一个近似值为

\[\sum m_jy_j, \]

如果这些和式当分割加细时趋向于某个极限，该极限就是 Lebesgue 意义下的积分. 于是，Lebesgue 称该函数是可和的.

1926年，在哥本哈根的一次演讲中，Lebesgue是这样南述他的观点的.

“按照Riemann的方法，我们对依自变量的大小顺序所提供的不可分割的量求和，这有如没有条理的商人数钱碰到硬市数硬币，碰到纸市数纸市而我们的做法像有条理的商人的做法：我有一克朗的货币\(m(E_1)\)个单位，共值\(1\cdot m(E_1)\); 我有两克朗的货币\(m(E_2)\)个单位，共值\(2\cdot m(E_2)\); 我有五克朗的货币\(m(E_5）\)个单位，共值\(5 \cdot m(E_5）\)等等， 故，总共有$$S=1\cdot m(E_1)+2\cdot m(E_2)+5\cdot m(E_5）+...$$

Lebesgue 心目中想得到如下形式的定理:

\[\lim_{n\to\infty}\int f_n=\int\lim_{n\to\infty}f_n. \]

这个定理可以说是Lebesgue积分理论的精华所在. 有兴趣的读者可以翻阅任何一本实变函数教材, 当然对于数学专业者来说, 已经是再熟悉不过了.

参考

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1. Kahane J ,范爱华(译).Lebesgue积分的产生及其影响[J].数学进展,2002,(02):97-106. ↩︎