闲话12.21

今天日期回文欸。

上午狂暴字符串，直接开颓，但是之前做过一道题，所以写起来题还是不是很难的。

haosen：你写过那个高斯消元的题赢麻了，我本来以为我写过那个 CF 的 SAM 题赢麻了，结果有那么简单的哈希做法🤣

但是有一坨 SAM 题，恶心。

不过题都好有意思欸，串串就有这点好吃。

难绷，想做一个《字符串九宫格》那种抽象的东西，但是好像横纵标准选的不太好啊，不太会做😭😭😭。

晚上 5k 讲的有点久啊，羲和术说实话不太想学，太抽象了，对于我还是太先进了啊。

今天下午自由活动的时候傻逼没有来😍😍😍，赢赢赢！

哦哦上午还拍到了傻逼上课时间玩手机，现在在闲话里面通报批评啊。

甲级战犯珍贵影像

以及俩傻逼会师：

不行上课的时候拍照快乐死我了，让你也享受享受被拍的感受🤗🤗🤗

应该这傻逼是走了吧，下午晚上就没见过了🥰。

我趣，arc 更新了止住患处立即融化！还是首 10！好他妈抽象。

昨天闲话里面问的有关竞赛图的问题解决啦，haosen 在 U 群问了下，成功解决了😋。

下午 haosen 成功兑现了他（在 csp 前）的承诺，给我们请了奶茶！虽然我们三个人都买的果茶（

昨天晚上发现和 AbioAg 的宿舍直接对着门欸（，也解决了一开始在 12.9 的时候对另一个车万的热点的疑惑（

闲话文化传播🤔🤔🤔

感觉天天对着 haosen 发电也没啥意思啊，想找女朋友了。话说 S2OI2022 有多少人有女朋友啊，haosen 跟我说上一届有三个还是四个来着。

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推歌：竹ノ花 -めらみぽっぷ

我不清楚之前有没有推过，但是我现在是真的没歌可推了，大家给我推点歌吧😭😭😭

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我不想写题解了，所以赫过来今天那个高斯消元题我写的题解。

这种往后填字符一般有两种做法：PGF 和直接期望 dp。这里我们进行一个期望 dp，因为题目中是要对所有 \(R\) 的前缀都求一遍，我们只需要在 AC 自动机上跑前缀即可。

我们先建出来 AC 自动机，设 \(E_i\) 为 AC 自动机上编号为 \(i\) 的点到一个终止状态的期望步数。转移显然，我们设 \(tr_{i, c}\) 为 \(i\) 点的第 \(c\) 个儿子，那么转移为：

\[E_u=\sum_{c=1}^{k} p_c\times E_{tr_{u, c}} + 1 \]

我们发现这样是有后效性的，要高斯消元，时间复杂度 \(O((nm)^3)\)，显然过不去。

设 \(x\) 的第 \(c\) 个儿子是 \(y\)（且这条转移存在），我们进行一个移项：

\[E_y=\frac{1}{p_c}\left(E_x-\sum_{c'\not= c}p_{c'}\times E_{tr_{x, c'}}-1 \right) \]

我们发现 \(y\) 的期望只和它的父亲以及它的兄弟相关，考虑缩减未知数数量。我们选取 \(x\) 的任意一个儿子 \(y\)，让剩下的儿子成为未知数，那么如果我们用这些未知数表示出了深度小于 \(d\) 的点，那么对于某个深度等于 \(d\) 的点一定可以用自己表示（新开一个未知数）或者用它的兄弟以及深度小于 \(d\) 的点来表示。这样未知数的数量是分叉的个数，我们再用叶子的期望为 \(0\) 列出 \(n\) 个方程高斯消元即可。

时间复杂度 \(O(n^3+n^2mk+|R|)\)。

哦哦还有就是 \(O(n^2)\) 竞赛图哈密顿回路：就维护一个 \(1\sim i\) 的环，每次插入 \(i+1\) 时把环遍历一遍看插到哪即可。

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