11.2闲话

困。

上午打了一场模拟赛。T1 原，T2 哈希水题但是读错题了🤣🤣🤣，挂了 20pts，先开了 T4 因为 T4 昨天闲话刚写了加强版😓😓😓，T3 想了一个小时写了半个小时一遍过大样例🤗🤗🤗。

最终得分：\(100+80+100+100=380pts\)，rk1。

谁他妈能想到我昨天刚放上那个高斯消元找主元的题今天就考了个这玩意啊😨😨😨。但是 PGF 也能做，也就是歌唱王国弱化版。

下午五分钟改完 T2🤗🤗🤗。然后直接开摆！

晚上写题，被他妈的卡常了我草。妈的本机从 3.2s 卡到 1.2s 才他妈在 CF 的 2s 时限下以 1.95s 的优秀速度过了😡😡😡。不过卡常收获很多🤗🤗🤗，就是从 6 点卡到了 8 点😨😨😨。

速报：学长吃了表面泛黄的开心果，窜了。

晚上下课就开始你话我草了🤗🤗🤗。

精选

随机打字精选，我也不知道这堆是怎么来的我真的就是随便打字打出来的

今天好像没干啥抽象事啊🤔🤔🤔。

求助一个问题：有无等差数列生成函数封闭形式😭😭😭，自己生成函数基础薄弱😭😭😭

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推歌：Last danceR -あよ

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下面这个题解同步更新在 S2OJ 和我的学术博客里（

当然这题也是典题了

P4548

我们设 \(f_i\) 为填了 \(i\) 个字符之后结束的概率，\(g_i\) 为填了 \(i\) 个字符后未结束的概率。我们写出它们的生成函数 \(\mathscr{F}(x)=\sum f_ix^i\) 和 \(\mathscr{G}(x)=\sum g_ix^i\)。

通过观察可以发现 PGF 具有这两个性质：

• \(\mathscr{F}(1)=1\)。显然，因为最终总会停止，无限求和最终概率即为 \(1\)。
• \(\mathscr{F}'(1)\) 即为答案。我们求导后展开系数可以发现系数都形如 \(i\times f_i\)。根据期望的定义 \(E=\sum i\times f_i\) 可以得到。

我们再寻找 \(\mathscr{F}(x)\) 与 \(\mathscr{G}(x)\) 的关系。首先可以发现一个非常显然的关系：

\[g_i=f_{i+1}+g_{i+1} \]

因为我们当前没有结束，那么下一轮有可能结束，也有可能不结束。我们对齐下标，可以得到：

\[x\mathscr{G}(x)+1=\mathscr{F}(x)+\mathscr{G}(x) \]

接下来这个性质比较难找。

我们设事件 \(A\) 为我们已经填了 \(i\) 个字符后，我们再随机填 \(m\) 个字符，同时这 \(m\) 个字符恰好组成 \(a\)。我们记这个事件发生的概率为 \(h_i\)。

如果我们在一个还没结束的局面往后添加 \(m\) 个字符，那么就可以做到事件 \(A\)。因此 \(h_i=g_i\times \frac{1}{n^m}\)。

当然，\(h_i\) 还有另一种求法。我们考虑在添加字符的时候在位置 \(i+y\) 提前出现了字符串 \(a\)（其中 \(1\le y\le m\)，因为最终一定会出现 \(a\)），我们记这个事件为 \(B_i\)，那么根据全概率公式 \(P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(A|B_i)P(B_i)\)，我们可以得到：

\[h_i=\sum_{y=1}^m B_y\times \frac{1}{n^{m-y}}\times [y \text{ is border}] \]

其中 \([y\text{ is border}]\) 这个条件来源于：我们提前出现了字符串 \(a\)，但是填了 \(m\) 个字符后又出现了一次 \(a\)，这就相当于我们填入的 \(y\) 个字符既为 \(a\) 的前缀又为 \(a\) 的后缀，也就是 \(a\) 的 \(\text{border}\)。

显然 \(B_y=f_{i+y}\)，那么 \(h_i=\sum_{y=1}^m f_{i+y}\times \frac{1}{n^{m-y}}\times [y \text{ is border}]\)

我们用两种方式写出了 \(h_i\) 的表达式，我们列出方程：

\[g_i\times \frac{1}{n^m}=\sum_{y=1}^m f_{i+y}\times \frac{1}{n^{m-y}}\times [y \text{ is border}] \]

两边同时乘上 \(n^m\) 可以得到：

\[g_i=\sum_{y=1}^mf_{i+y}\times n^y\times [y\text{ is border}] \]

我们为了对齐，给 \(\mathscr{G}(x)\) 乘上 \(x^m\)，第 \(i\) 项系数变为 \(g_{i+m}\)。\(\mathscr{F}(x)\) 乘上 \(x^{m-y}\)，第 \(i\) 项系数变为 \(i+y+m-y=i+m\)。那么可以得到：

\[x^m\mathscr{G}(x)=\sum_{y=1}^m\mathscr{F}(x)\times n^{y}\times [y\text{ is border}] \]

我们有了这两个式子后，我们进行一些推导：

\[\begin{aligned} x\mathscr{G}(x)+1&=\mathscr{F}(x)+\mathscr{G}(x)\\ (x-1)\mathscr{G}(x)+1&=\mathscr{F}(x) \end{aligned} \]

两边求导得到：

\[\begin{aligned} \mathscr{F}'(x)=\mathscr{G}(x)+(x-1)\mathscr{G}'(x) \end{aligned} \]

带入 \(x=1\) 后得到：\(\mathscr{F}'(1)=\mathscr{G}(1)\)。我们要求的答案即为 \(\mathscr{G}(1)\)。

我们再将 \(x=1\) 代入 \(x^m\mathscr{G}(x)=\sum_{y=1}^m\mathscr{F}(x)\times n^{y}\times [y\text{ is border}]\) 中，可以得到：

\[\mathscr{G}(1)=\sum_{y=1}^m\mathscr{F}(1)\times n^y\times [y \text{ is border}] \]

由于 \(\mathscr{F}(1)=1\)，那么：

\[\mathscr{G}(1)=\sum_{y=1}^mn^y\times [y \text{ is border}] \]

我们直接跳 \(\text{border}\) 即可。时间复杂度 \(O(n)\)。

今天模拟赛 T4 字符集大小只有 2 所以输出 \(2^m\) 有 30pts😭😭😭

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tibrella 说要把大家当兄弟，那我找找有啥涩图我也放上来。

欸不是我翻遍我所有的图我都没找着一张涩图，真服了。

昨天晚上发现没有鵺的图所以去 P 站搜刮了搜刮，今天放俩图，卷四 tibrella

你画我猜答案：泳装、熊